最小多項式 (体論)

最小多項式（さいしょうたこうしき）

数学の一分野である体論において、最小多項式とは、体の拡大 E/F において、拡大体 E のある元 α に対して定義される、F 上の多項式です。具体的には、α を根として持つ F[x] の多項式環に属する多項式のうち、零多項式を除いて次数が最も低く、かつ最高次係数が 1 である（モニックである）ただ一つの多項体を指します。

体 E の元 α が与えられたとき、α を根（零点）とする F[x] の多項式 f(x) 全体の集合を考えます。この集合は F[x] のイデアルを構成し、これを Jα と呼びます。常に零多項式は Jα に含まれますが、α を特徴づける上で重要となるのは零でない多項式です。もし Jα が零多項式以外の多項式を含む場合、元 α は F 上代数的であると言われます。代数的な元 α に対しては、Jα に属する零でない多項式の中で、次数が最小となるものが存在します。特に、最高次係数が 1 であるモニックな多項式は、この最小次数を持つものの中でただ一つに定まります。この一意に定まる多項式が、α の E/F に関する最小多項式なのです。

一方、もし Jα が零多項式のみしか含まない場合、すなわち α を根とする零でない F[x] の多項式が存在しない場合、α は F 上超越的であると言い、この場合は α の最小多項式は存在しません。

一意性の証明

最小多項式が一意に定まることは、F[x] から E への環準同型である評価写像 subα に基づいて説明されます。この写像は多項式 f(x) を f(α) に対応させるものです。写像 subα の核 ker(subα) は、 précisément α を根とするすべての F[x] の多項式の集合、つまり Jα に一致します。環準同型の核は必ずイデアルであり、F 上の多項式環 F[x] は特別な性質を持つ主イデアル整域であるため、イデアル Jα はある一つの多項式によって生成される単項イデアルとなります。Jα を生成する多項式として、Jα に含まれる零でない多項式の中で次数が最小のものを選ぶことができます。そして、そのような次数最小の多項式の中で、最高次係数が 1 であるモニック多項式はただ一つしか存在しません。これが最小多項式の一意性を保証する根拠となります。

既約性

最小多項式の重要な性質の一つに、F 上で既約であることが挙げられます。もし α の最小多項式 f(x) が、F[x] において二つの次数がより低い多項式 g(x) と h(x) の積、すなわち f(x) = g(x)h(x) と因数分解できたと仮定しましょう。定義により f(α) = 0 ですが、体 E は整域であるため、g(α)h(α) = 0 ならば g(α) = 0 または h(α) = 0 の少なくとも一方が成り立ちます。これは、次数が f(x) よりも低い多項式 g(x) または h(x) のどちらかが α を根に持つことを意味します。しかし、これは最小多項式 f(x) が α を根に持つ多項式の中で次数最小であるという定義に矛盾します。したがって、最小多項式は F 上で既約でなければなりません。

応用

最小多項式は、体拡大を構成したり、その構造を解析したりする際に非常に有用です。α が F 上代数的な元で、その最小多項式を a(x) とするとき、F と α を含む最小の体、すなわち F に α を添加して得られる体 F(α) は、商環 F[x]/⟨a(x)⟩ （a(x) によって生成されるイデアルによる剰余環）と同型になります。また、最小多項式は代数的数の共役元を定義するためにも利用されます。

例

有理数体 Q と実数体 R の拡大 R/Q を考え、α = √2 とします。α は Q 上代数的であり、その最小多項式は x² − 2 です。これは Q[x] において既約なモニック多項式であり、√2 を根に持ちます。
同じ α = √2 を考える場合でも、基礎体を実数体 R とすると、R 上では x − √2 が α を根に持つ次数最小のモニック多項式となります。したがって、R 上での最小多項式は x − √2 となります。基礎体によって最小多項式は変わる点に注意が必要です。
α = √2 + √3 の Q 上での最小多項式は x⁴ − 10x² + 1 です。この多項式は Q[x] において既約であり、√2 + √3 を根に持ちます。
1 の原始 n 乗根 ζn の Q 上での最小多項式は、円分多項式 Φn(x) として知られています。

これらの例からもわかるように、最小多項式は特定の代数的数がどのような体の構造を生み出すか、あるいはその数が基礎体上でどのような性質を持つかを理解するための基本的な道具となります。

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