有限加法族

有限加法族（集合体、集合代数）とは

数学において、有限加法族（finitely additive class）、集合体（field of sets）、または集合代数（algebra of sets）とは、ある集合の冪集合が持つブール代数の部分代数のことです。具体的には、集合 S 上の有限加法族 (S, F ⊂ 2^S) は、以下の条件を満たす部分集合族 F を指します。

F に属する任意の二つの集合 A, B の和集合 A ∪ B が F に属する。
F に属する任意の二つの集合 A, B の共通部分 A ∩ B が F に属する。
F に属する任意の集合 M の補集合 M^c = S - M が F に属する。

これらの条件は、集合演算（和、共通部分、補集合）に関して F が閉じていることを意味します。有限加法族は、任意のブール代数を表現できるため、ブール代数の表現論において重要な役割を果たします。

集合体 (S, F) において、S の要素は「点」、F の要素は「複体」と呼ばれます。

定義

空でない集合 S の部分集合族 M ⊂ 2^S が、和集合 (∪) と補集合 (c) の演算に関して閉じており、和集合に関する単位元 ∅ を持つとき、M を有限加法族または単に加法族と呼びます。

A1, A2 ∈ M ⇒ A1 ∪ A2 ∈ M
A ∈ M ⇒ A^c ∈ M
∅ ∈ M

一方、M ⊂ 2^S が積集合 (∩) と対称差 (Δ) の演算に関して閉じており、積集合に関する単位元 S を含むとき、M を集合体と呼びます。

A1, A2 ∈ M ⇒ A1 ∩ A2 ∈ M
A1, A2 ∈ M ⇒ A1 Δ A2 ∈ M
S ∈ M

有限加法族は、和集合 (∪) という一つの演算に注目した構造であり、集合体は積集合 (∩) と対称差 (Δ) の二つの演算が作る集合環の構造に着目したものです。しかし、これらの二つの定義は互いに同値であり、同じ概念を定義します。これらの条件から、以下の性質も帰納的に導かれます。

A1, A2, ..., An ∈ M ⇒ ⋃[k=1 to n] Ai ∈ M
A1, A2, ..., An ∈ M ⇒ ⋂[k=1 to n] Ai ∈ M

つまり、有限回の集合演算に関して閉じていることがわかります。

ブール代数の表現論における集合体

ストーン表現

任意の有限ブール代数は、ある集合の冪集合として表現できます。この冪集合は、ブール代数の原子の集合であり、各要素は、それに属する原子の集合に対応します。この表現は、任意の完備かつ原子的なブール代数にも拡張できます。

完備かつ原子的なブール代数でない場合でも、冪集合の代わりに集合体を考えることで、冪集合表現を一般化できます。有限ブール代数の原子をその超フィルターに対応付け、原子がブール代数の要素に属するのは、その要素が対応する超フィルターに含まれる場合と定義します。これにより、ブール代数の要素を、それを含む超フィルターの集合に対応付けることで、複体の集合を構成する方法が導かれます。この構成は、集合代数としてのブール代数の表現を導き、ストーン表現として知られています。これは、ブール代数のストーン表現論における基礎であり、順序集合論におけるイデアルやフィルターに基づく完備化の例です。

また、二値ブール代数への全射準同型全体の集合を考え、ブール代数の各要素に、それを「頭」の要素に写す準同型の全体を対応させることで、複体を得ることもできます。これは、ブール代数の超フィルターが、そのような準同型による「頭」の要素の原像に一致することと同値です。この方法により、ストーン表現を、真理値表による有限ブール代数の表現の一般化と見なすことができます。

集合体の分離性・コンパクト性、ストーン双対性

分離的であるとは、台集合の任意の異なる二点に対し、一方を含み他方を含まない複体が常に存在することです。

コンパクトであるとは、台集合上の任意の真フィルターに対し、そのフィルターに含まれる複体の共通部分が空でないことです（有限交差性）。

これらの定義は、集合体の複体全体が生成する位相を考えることから来ています。集合体 X = (X, F) に対し、その複体が生成する位相空間を T(X) とすると、以下の性質が成り立ちます。

T(X) は常に0次元空間です。
T(X) がハウスドルフ空間であることと、X が分離的であることは同値です。
T(X) が F を開コンパクト集合全体とするコンパクト空間であることと、X がコンパクトであることは同値です。
T(X) が F を開かつ閉な集合全体とするブール空間であることと、X が分離的かつコンパクトであることは同値です。

ブール代数のストーン表現は分離コンパクトであり、対応するブール空間はストーン空間として知られます。ストーン空間の開かつ閉集合は、ストーン表現の複体と一致します。ブール代数のストーン表現が、対応するストーン空間から復元できるという事実が、ブール代数とブール空間の間の双対性（ストーン双対性）の根幹です。

付加構造を持つ集合体

完全加法族と可測空間

集合 X 上の有限加法族 F が、可算個の和集合・共通部分に関して閉じているとき、完全加法族と呼ばれます。このとき、集合体 (X, F) は可測空間と呼ばれ、その複体は可測集合と呼ばれます。

測度空間は、三つ組 (X, F, μ) であり、μ が可測空間 (X, F) 上の測度であるものです。μ が確率測度の場合、測度空間は確率空間、底にある可測空間は標本空間と呼ばれます。標本空間の点は標本と呼ばれ、結果の可能性を表します。可測集合（複体）は事象と呼ばれ、確率を割り当てることで結果の性質を表現します。測度空間や確率空間は、測度論や確率論における基本的な概念です。

位相集合体

位相集合体は、三つ組 (X, T, F) であり、(X, T) が位相空間、(X, F) が集合体で、F が T における閉包作用素に関して閉じているものです。これは、F が開核作用素に関して閉じていることと同値です。つまり、位相集合体 F の複体の閉包・内部は F の複体となります。これは、F が位相空間 (X, T) 上の冪集合の成す開核代数の部分代数であるとも言えます。

任意の開核代数は、開核作用素・閉包作用素を位相集合体の開核作用素・閉包作用素に対応付けることで、位相集合体として表現できます。与えられた位相空間に対して、開かつ閉集合全体は位相集合体を成し、ブール代数のストーン表現はこのように解釈できます。

代数的集合体とストーン集合体

位相集合体が代数的であるとは、その複体からなる開基が存在することです。コンパクトかつ代数的であるならば、その位相はコンパクトで、開コンパクト集合は開複体に対応します。分離的、コンパクト、代数的な位相集合体はストーン集合体と呼ばれ、ブール代数のストーン表現を一般化したものです。開核代数のストーン表現は、開基となる開元と位相集合体の複体を対応付け、複体で生成される位相をとることで、位相集合体に拡張できます。このときの複体は開複体となり、得られる表現もストーン表現と呼ばれます。

前順序集合体

前順序集合体は、三つ組 (X, ≤, F) であり、(X, ≤) が前順序集合、(X, F) が集合体を成すものです。前順序集合体も位相集合体と同様に、開核代数の表現論において重要です。任意の開核代数は前順序集合体として表現でき、開核作用素・閉包作用素は、前順序から誘導されるアレクサンドロフ位相に関するものと対応付けられます。

前順序集合体は、各点がクリプキ意味論における可能世界を表す様相論理 S4（認識論理の数学的抽象化）に登場します。理論のリンデンバーム・タルスキ代数の表現を導入することで、前順序は可能世界の近接可能性を表し、複体は理論が保持する個々の文章が属する可能世界を表します。

代数的集合体と標準前順序集合体

前順序集合体が代数的であるとは、複体の集合 A によって自身の前順序が決定されることです。具体的には、x ≤ y は、任意の複体 S ∈ A に対して、x ∈ S ならば常に y ∈ S となることと定義されます。S4理論から得られる前順序集合体は常に代数的であり、その複体は必要性の元で閉じている文章が属する可能世界の集合に従う前順序を決定します。

分離コンパクトかつ代数的な前順序集合体は標準的と呼ばれます。与えられた開核代数に対し、ストーン表現における位相を標準前順序（前順序の特殊な場合）に置き換えることで、開核代数の標準前順序集合体としての表現が得られます。アレクサンドロフ位相に置き換えることで、開核代数の位相集合代数としての表現も得られます（この「アレクサンドロフ表現」の位相は、ストーン表現の位相の双余反射になっています）。

複体代数と関係構造上の集合体

前順序集合体による開核代数の表現は、任意の作用域を持つ正規ブール代数の表現に一般化できます。構造 (X, (Ri)i∈I, F) を考えます。(X, (Ri)i∈I) は関係構造、(X, F) は集合体です。関係構造上の集合体 X = (X, (Ri)i∈I, F) によって決定される複体代数とは、作用域を持つブール代数

C(X) =

のことです。各 i ∈ I に対して、Ri が n+1 引数の関係である場合、fi は n 変数演算であり、S1, ..., Sn ∈ F に対して、

fi(S1, ..., Sn) = {x ∈ X: ある x1 ∈ S1, ..., xn ∈ Sn が存在して Ri(x1, ..., xn, x) である}

を満たします。

この構成は、演算を関係の特別な場合とみなすことで、演算と関係の代数的構造を持つ集合の体に一般化できます。F が X の冪集合全体の場合、C(X) は充満複体代数または冪集合代数と呼ばれます。

任意の作用を持つ正規ブール代数は、対応する複体代数に同型であるという意味で、関係構造上の集合体によって表現できます。

（複体という用語は、群論における群の部分集合に由来します。）

関連項目

完全加法族
集合環
ブール代数
* 有限加法的測度

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