本質拡大

本質拡大と余剰部分加群の理解

数学、特に加群論において、環 R と R-加群 M、その部分加群 N が与えられたときに、M が N の本質拡大であるという概念が存在します。これは、加群 M のすべての部分加群 H に対して、H と N の交差がゼロであるときに H 自体もゼロでなければならない、という条件を満たす場合に成立します。つまり、N の情報を持たない部分加群は存在しないということです。

本質部分加群の定義と示唆

本質的な左イデアルという特別なケースについて考えてみましょう。R の本質左イデアルは、左加群 RR の部分加群として定義され、この左イデアルは R の任意の零でない左イデアルと非ゼロの共通部分を持つという特性を持ちます。同様に、本質右イデアルは右 R 加群 RR の本質部分加群のことを指します。

この本質部分加群は、次の記号で表されることが一般的です。

• - N ⊆e M
• - N ⊴ M

本質部分加群の双対概念は、余剰部分加群の概念です。余剰部分加群は、加群 M のすべての部分加群 H に対して、N と H の和が M に等しい場合に成立します。これを書くと次のようになります。

• - N + H = M ならば H = M

さらに、余剰部分加群の表記も以下のように一般化されています。

• - N ⊆s M
• - N ≪ M

本質部分加群の性質

M を加群、K、N、H を M の部分加群とすると、K ⊂ N という関係のもとで本質部分加群の基本的な性質をいくつか述べます。

まず第一に、M は自らの本質部分加群であり、0 でない加群 M の部分加群 0 は本質的ではないことが明らかです。また、K ⊆e M であることは K ⊆e N かつ N ⊆e M であることと同値です。さらに、K ∩ H ⊆e M であるという条件は、K ⊆e M かつ H ⊆e M の両方が成立する場合に同値です。

また、M がアルティン加群であれば、ソーシャル者 soc(M) は本質部分加群に含まれます。この場合、ツォルンの補題を利用することで M の任意の部分加群 N に対して必ず何らかの部分加群 C が存在し、N ⊕ C が M の本質部分加群に含まれることが示されます。

また、真の本質拡大の存在しない加群、すなわちある加群が別の加群において本質的であれば、前者と後者は等しいという関係が成立する場合があります。このような加群は移入加群と呼ばれ、すべての加群 M は極大な本質拡大 E(M) を持ち、この E(M) は移入加群で、同型を除いて一意であると言われています。

余剰部分加群の性質

余剰部分加群に関しても多くの基本的な性質が同様に成立します。初めに、明らかに 0 は M の余剰部分加群であり、0 でない加群 M の部分加群は常に余剰的ではありません。次に、N ⊆s M であることは、K ⊆s M かつ N/K ⊆s M/K であることと同等です。

さらに、K + H ⊆s M である場合も、K ⊆s M かつ H ⊆s M であることと同値です。また、M がネーター加群であれば、rad(M) が余剰部分加群に含まれることが知られています。

一般化とアーベル圏

これらの概念はアーベル圏においても一般化され、本質拡大は、すべての零でない部分対象に対してファイバー積がゼロでないような射 u : M → E として定義されます。これは異なる数学的文脈でも適用されることから、加群論の本質部分加群と余剰部分加群の理解が他の数学的理論においても意義を持つことがわかります。

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