部分対象

圏論における部分対象

圏論は数学の一分野で、様々な対象や射（関数）を考察します。その中で「部分対象」という概念は、特定の対象が別の対象にどのように含まれるかを表現するものです。このアイデアは、集合論における部分集合や群論の部分群など、他の数学分野の概念を一般化したものであり、対象の詳細な構造を無視し、相互の関係に注目します。

定義

ある圏の対象Aに対して、二つの単射u: S → A と v: T → Aが与えられたとします。このとき、uがvを通して分解できる場合は、u ≤ vと定義されます。これは、ある射w: S → Tが存在し、次のように表されます:

$$
u = v ullet w
$$

この関係により、二項関係「≡」が定義されます。具体的には、u ≡ v はu ≤ vかつv ≤ uが成立する時に成り立ち、これは単射間の同値関係を示します。この同値関係に基づき、単射の対応する同値類はAの部分対象を形成します。さらに注目すべきは、同じ部分対象を示す単射の始域は同型である必要があるという点です。

また、余域Aを持つ単射の集合に前順序を持たせると、部分対象の集まりは半順序を持つことが保証されます。ただし、集合が真クラスとなる場合があるため、この議論には注意が必要です。特定の条件下で、任意の対象の部分対象の集合が集合である場合、その圏はwell-powered（力がある）とされます。商対象というこの概念の双対を見出すためには、単射を全射に変え、射の向きを逆にします。

例

具体的な例として、圏SetにおけるAの部分対象に目を向けると、これはAの部分集合Bおよび、像がBであるような全ての写像の集合に対応します。Setの部分対象における半順序は、まさにその部分集合の束を反映しています。この種の結果は、群に関する圏Grpやその他の圏にも当てはまります。

また、半順序クラスPを考慮することで、Pの元を対象として扱い、ある対象が別の対象以下であるときには前者から後者にユニークな射が存在するような圏を構造できます。この設定では、Pが最大元を持つ場合、その最大限の部分対象半順序はP自身として解釈されます。これは、そのような圏の全ての射が単射であるために可能です。特に、圏の終対象に対する部分対象は部分終対象と呼ばれ、分野における重要な概念の一つとなっています。

関連項目

• - Subobject classifier
• - Mereology
• - Subquotient

参考文献

• - Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician, Graduate Texts in Mathematics, 5 (2nd ed.), New York, NY: Springer-Verlag.
• - Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, eds (2004). Categorical foundations. Cambridge: Cambridge University Press.

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