条件付期待値

条件付き期待値の概念

確率論において、条件付き期待値は、特定の情報が与えられた状況での確率変数の期待値を表します。この概念は、情報が与えられたときの不確実性を減少させ、その情報を考慮した上での期待される結果を求める方法を提供します。ここでの「期待値」とは、確率変数が取り得る値そのものの平均を意味し、条件付き期待値はその特定の条件下での平均値と考えることができます。

初等的な定義

初等的には、条件付き期待値は条件付き確率を用いて定義されます。事象 A が起こることで確率の計算が変わる場合、事象 B が A のもとで起こる確率は、次のように表されます：

$$
P(B | A) := \frac{P(A \cap B)}{P(A)}
$$

この式は、A が発生する条件下での B の発生確率を算出しています。これを用いた確率変数 X の条件付き期待値は、次の式で表されます：

$$
E[X | A] := E^{P(\cdot | A)}[X] = \frac{E[X, A]}{P(A)} = \frac{E[X \mathbf{1}_{A}]}{P(A)}
$$

ここで、$E[X, A]$ は事象 A が発生する事象に対しての期待値を示しています。

具体例

サイコロの例を考えてみましょう。サイコロを二つ投げて、大きい方の目を X、小さい方の目を Y とした場合、Y = 3 という情報が与えられたときの確率変数の積 XY の期待値を計算できます。この場合、考慮すべき組み合わせは (X, Y) = {(1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 3), (5, 3), (6, 3)} の6通りであり、それぞれの確率は 1/6 です。そのため、期待値は次のように計算されます：

$$
E[XY | Y=3] = (1 \cdot 3 \cdot \frac{1}{6}) + (2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{6}) + (3 \cdot 3 \cdot \frac{1}{6}) + (4 \cdot 3 \cdot \frac{1}{6}) + (5 \cdot 3 \cdot \frac{1}{6}) + (6 \cdot 3 \cdot \frac{1}{6}) = \frac{21}{2}
$$

一般に、Y = y が分かっている場合の期待値は次のように表します。

$$
E[XY | Y=y] = \frac{21y}{6}
$$

これは、Y の値が与えられることで、XY の期待値がどのように変化するかを示しています。

一般的な場合

次に、サイコロの例を拡張して、X と Y が正規分布に従う場合を考えます。この場合、Y の特定の値 y に対して確率が 0 のため、初等的な定義は使用できません。このように、一般の場合では条件として満たすべき独自の条件を設定し、それを満たす唯一の確率変数が条件付き期待値として定義されます。

この定義では、条件付き確率密度関数を用いて、次のように期待値を計算することが可能です。

$$
E[X | Y=y] = \int_{\mathcal{X}} x f_{X|Y}(x|y) dx
$$

ここで、$f_{X|Y}(x|y)$ はYが与えられたときのXの条件付き確率密度関数です。一般的には、事象や確率変数の値ではなく、完全加法族を通じて情報が与えられます。

定義

確率空間 $(\Omega, F, P)$ 上の可積分な確率変数 X と σ-集合 G ⊂ F があるとき、確率変数 Y が X の G に関する条件付き期待値であるとは、以下の条件を満たすことを指します：
1. Y は G 可測な可積分確率変数である。
2. 任意の G 可測な事象 A に対して、$E[X, A] = E[Y, A]$ が成立する。

このような関係から、Y は零集合を除いて唯一に定まるため、$E[X | G]$ と表現されます。この条件付き期待値の概念は、確率論の深い理解と応用において重要な役割を果たします。

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