極大トーラス

極大トーラスとコンパクトリー群の理論

コンパクトリー群において、極大トーラスは重要な役割を果たします。これらのトーラスは、コンパクトかつ連結な可換部分リー群であり、標準的なトーラスに同型です。特に、極大トーラスは全てのトーラスの中で最大のものであり、次元を理解するための重要な概念です。

トーラスの基本概念

トーラスは、コンパクトリー群G の中で、可換な部分リー群の一例であり、その中でも極大のものを特に極大トーラスと呼びます。極大トーラスの定義によれば、トーラス T が他のトーラス T′ に含まれている場合、T は極大トーラスと考えられます。トーラスが存在する限り、必ず極大トーラスが存在することが示されています。

階数と次元

コンパクトリー群G の極大トーラスの次元は、その群の階数と呼ばれ、これは群が持つトーラスの共役関係によって一意に定義されます。特に、半単純群においては、その階数は対応するディンキン図形のノードの数に等しいため、幾何学的な観点からも理解できます。

例えば、ユニタリ群U(n)の極大トーラスは、全ての対角行列から構成され、その次元はnに等しいことが分かります。一方、特殊ユニタリ群SU(n)の極大トーラスは、U(n)の中でも特定のトーラスであり、次元はn - 1です。これは、対角要素の一部が制約されるためです。

特殊直交群SO(2n)も同様に、極大トーラスは互いに直交する2次元平面に関わる回転から構成され、同様の性質を保ちつつ、階数はnです。

極大可換部分群としての役割

コンパクトリー群Gの極大トーラスは、極大可換部分群としての性質も持ちます。しかし、逆に極大可換部分群が必ずしも極大トーラスになるとは限りません。すべての元g ∈ Gは極大トーラスTの元と共役関係にあり、これによって群内の他の全ての元も極大トーラスの性質を持つことが分かります。

ワイル群に関する考察

さらに、与えられたトーラスTに関して、ワイル群を定義することができます。このワイル群は、トーラスの中心化群を法としたトーラスの正規化群であり、群Gの性質を決定します。具体的には、G の極大トーラスTを固定すると、対応するワイル群はGにおける表現論において非常に重要な役割を果たします。

このように、トーラスはコンパクトリー群の構造を捉えるための基本的な道具であり、様々な重要な数学的性質を展開させる基盤となっています。極大トーラスを理解することは、群論や代数の様々な分野においても重要なのです。

もう一度検索