ユニタリ群

ユニタリ群U(n)について

ユニタリ群U(n)は、n次のユニタリ行列によって形成される数学的な群です。この群は、複素数体上で定義され、行列の積を通じて演算が行われます。特に、ユニタリ群は一般線型群の一部として位置付けられます。

定義

ユニタリ群U(n)は、以下の条件を満たす行列の集合として定義されます。

$$
U(n) = \{ U \in GL(n, \mathbb{C}) \mid \forall x, y \in \mathbb{C}^n: \langle Ux, Uy \rangle = \langle x, y \rangle \}
$$

ここで、$GL(n, \mathbb{C})$は一般線型群を示し、内積$\langle -, - \rangle$はエルミート形式を表すものです。また、$U^\dagger U = I_n$の条件もユニタリ行列の定義に含まれます。すなわち、ユニタリ群に属する行列は、複素線型空間のエルミート形式を保存することを意味しており、ノルムの保存にも関連します。これは、絶対値が1の複素数による線型変換の類似性を示しています。

一般の体上のユニタリ群

一般の体におけるユニタリ群は、より広範な状況に適用できます。ここでは、基礎体$K$の2次拡大体$L$を考え、線型空間$V = L^n$上のエルミート形式が不変である線型自己同型写像の群を$U(n, K, L)$と定義します。具体的には、次のような形になります。

$$
U(n, K, L) = \{ U \in GL(n, L) \mid \forall x, y \in V: \langle Ux, Uy \rangle = \langle x, y \rangle \}
$$

この定義により、ユニタリ群は複数の数学的状況で適用可能な強力な構造であることが分かります。

例

例えば、4元体$F_4 = \{0, 1, \omega, \omega^2\}$を考えます。ここで、演算は$x^2 + x + 1 = 0$から定められます。この場合、$U(2, F_2, F_4)$は、次の2つの行列によって生成され、順位は18です。

$$
U(2, F_2, F_4) = \langle \begin{bmatrix} \omega & \omega \\ 0 & \omega \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \rangle
$$

性質

複素数体上のユニタリ群は多くの興味深い性質を持っています。最も単純な場合、$n = 1$のとき、$U(1)$は巡回群に対応しており、絶対値が1である複素数の集合を形成します。さらに、すべてのユニタリ群は循環群$U(1)$のコピーを含んでいます。また、$U(n)$は次元$n^2$の実リー群であり、$U(n)$のリー代数は$n$次の歪エルミート行列で構成され、それに対する括弧積は交換子で表現されます。

ユニタリ群は、線形代数や量子力学など、さまざまな分野で重要な役割を果たしています。本内容は、数学とその応用におけるユニタリ群の理解を深めるための基礎情報を提供します。

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