正則関数の解析性

正則関数と解析関数：複素解析における重要な定理

複素解析において、正則関数と解析関数は密接に関連する概念です。本稿では、これらの関数の関係性、特に正則関数が解析関数であることを証明し、その重要で興味深い性質について探求します。

1. 正則関数と解析関数の定義

複素変数 z の複素数値関数 f(z) を考えます。

正則関数: ある点 a の周りにある開円板内のすべての点において、f(z) が微分可能であるとき、f(z) は点 a で正則であるといいます。

解析関数: ある点 a の周りにある開円板において、f(z) が次の形の収束冪級数で展開できるとき、f(z) は点 a で解析的であるといいます。

f(z) = Σ_{n=0}^∞ c_n (z - a)^n

ここで、c_n は複素係数であり、収束半径は正である必要があります。

2. 正則関数は解析関数である

複素解析における最も重要な定理の1つは、正則関数は解析関数であるというものです。この定理は、正則関数の持つ驚くべき性質を明らかにしています。この定理の証明には、コーシーの積分公式と幾何級数の展開が用いられます。

3. 証明：コーシーの積分公式を用いたアプローチ

a を中心とする開円板 D を考え、f(z) は D の閉包を含むある開近傍で正則であるとします。C を D の境界である正の向きの円とします。z を D 内の点とすると、コーシーの積分公式より、

f(z) = (1 / (2πi)) ∫_C f(w) / (w - z) dw

が成り立ちます。ここで、1 / (w - z) を幾何級数に展開し、積分と級数の順序交換を行うことで、f(z) の冪級数展開を得ることができます。級数の収束性については、ワイエルシュトラスのM判定法を用いて保証されます。この展開は、f(z) のテイラー展開に他なりません。

4. 系：重要な性質

正則関数が解析関数であるという定理から、いくつかの重要な系が導かれます。

一致の定理: 2つの正則関数が、それらの定義域の共通部分に含まれる集積点をもつ無限集合 S のすべての点で一致するならば、集合 S を含む定義域の任意の連結開部分集合のすべての点で一致する。
無限回微分可能性: 正則関数は無限回微分可能です。これは、実数値関数とは対照的な性質です。
収束半径: 冪級数の収束半径は、中心 a から最も近い特異点までの距離に等しく、特異点が存在しない（整関数）場合は無限大となります。
隆起関数: 複素平面上の（恒等的に 0 でない）隆起関数は整関数ではありません。このことから、複素多様体では1の分割が用いることができません。

5. コーシーの積分公式とテイラー展開

証明の中で用いられたコーシーの積分公式は、正則関数の値を積分によって表現する強力なツールです。また、得られた冪級数展開は、f(z) のテイラー級数であることが分かります。テイラー展開の収束半径は、中心点から最も近い特異点までの距離によって制限されます。

6. まとめ

正則関数は解析関数であるという定理は、複素解析において中心的な役割を果たしています。この定理とその系は、正則関数の持つ特異な性質を理解する上で不可欠なものです。これらの性質は、複素解析の様々な分野、特に複素多様体の研究において重要な役割を果たしています。 本稿では、厳密な証明と解説を通して、これらの概念の理解を深めることを目指しました。

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