正規順序積

正規順序積

場の量子論における正規順序積とは、消滅演算子が生成演算子の右側に位置するように演算子の積を整理したものを指します。これはまた正規積とも呼ばれ、通常は「N」の記号を用いて表現されます。正規順序積の主な特徴は、真空期待値が常にゼロであることで、これにより特定の動的量を物理的に意味のある形で導出するのが可能となります。特に、古典場のハミルトニアンなどの物理量を量子化した場合、真空期待値が発散することがありますが、正規順序積を導入することで意味のある真空期待値を得ることができるのです。

定義

生成演算子をaα†、消滅演算子をaαとします。この時、演算子の積から生成演算子が右側、消滅演算子が左側に配置されるように順序を整理します。これは、演算子同士の順序を変えず、フェルミ粒子の演算子同士では符号を変化させるという条件付きで行われます。これにより、例えば以下のような規則が得られます。

ボーズ粒子の場合

• - N[aα aβ†] = aβ† aα

ここで、正規順序に従った演算子の性質が現れます。一方、フェルミ粒子の場合は次のようになります。

フェルミ粒子の場合

• - N[aα aβ†] = -aβ† aα

このように、単項式による正規順序積の定義は、生成消滅演算子の線形和や積に拡張され、線形性や分配法則を保持します。

例

スピン0の中性ボーズ粒子は実スカラー場φ(x)で表され、以下のように定義されます。

φ(x) = ∫(d³k/(2π)³2k₀) k₀ (a(k)e^(ikx) + a†(k)e^(-ikx))

ここで、k₀ = √(k² + m²)です。この場合、φ(x)は次のように二つの項に分けることができます。

φ(x) = φ⁺(x) + φ⁻(x)

ここで、φ⁺(x) や φ⁻(x)はそれぞれ消滅演算子と生成演算子から成り立っています。正規順序を考慮した場合、以下の式が成り立ちます。

N[φ⁺(x) φ⁻(y)] = φ⁻(x) φ⁺(y) のように、相互作用を考える際に重要な意味を持ちます。

真空期待値

消滅演算子が真空状態|0⟩に作用するとゼロになり、生成演算子がその逆に作用してもゼロとなります。これにより、生成消滅演算子からなる演算子Oの正規順序積N[O]の真空期待値⟨0|N[O]|0⟩も一般にゼロになります。これを利用して、物理量の発散を除去することができます。

発散量の除去

古典的な量子化によって得られる物理量の真空期待値が無限大に発散する場合、正規順序積を用いることで適切な物理量を導出可能です。たとえば、実スカラー場のハミルトニアンと運動量の計算時の発散を排除するために、前述の演算子に対してN[H]やN[P]を適用することで次のように整理され、物理的な意味を持つ結果が得られます。

参考文献

• - Michael E. Peskin and Daniel V. Schroeder, An Introduction To Quantum Field Theory, Addison-Wesley, 1995.

関連項目

• - 時間順序積

以上のように、正規順序積は量子場理論において重要な役割を果たし、物理的な定量化に寄与します。

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