歪エルミート行列

歪エルミート行列とは

歪エルミート行列（Skew-Hermitian matrix）、または反エルミート行列は、特に複素正方行列の一種で、自分自身のエルミート共役（随伴）が自身に対して負の値をもつ行列です。

定義

行列 A が n 次の正方行列であるとき、A が歪エルミートであるための条件は、以下の式によって定義されます。

$$
A^{} = -A
$$

ここで、AはAのエルミート共役を示します。この関係はまた、成分を明示的に示すことでも表現できます。

$$
(A^{})_{ij} = ar{A_{ji}} = -A_{ij} ext{ for } 1
ightarrow i,j
ightarrow n
$$

この定義により、n 次の歪エルミート行列の集合はリー代数に分類され、通常は $$ ext{u}(n)$$ という記号で表されます。これに対して、自己エルミート行列（エルミート行列）は、自身のエルミート共役と等しい性質を持っています。

性質

歪エルミート行列の成分を虚数単位 i で除することで、エルミート行列を得ることができます。具体的には、ある歪エルミート行列 A に対し、

$$
A = iH
$$

が成立する时のハミルトニア行列 H もエルミートから成り立ちます。この際、(iH)が −iHの形式になり、これにより iHもまた歪エルミートであることが確認できます。

さらに、歪エルミート行列の対角成分はすべて純虚数で、したがってそのトレースも純虚数の値を持ちます。ですので、この行列の固有値は一般に 0 または純虚数になります。固有値方程式を考慮すると、固有値 λ の実部は必ず 0 でなければならず、これより異なる固有値に対応する固有ベクトルは直交します。

行列の結合

また、歪エルミート行列のスカラー倍やスカラー行列同士の和もまた歪エルミート行列であるため、行列 A, B に対して以下の関係が成り立ちます。

$$
(eta A + eta B)^{} = ar{eta}A^{} + ar{eta}B^{} = -(eta A + eta B)
$$

この行列 A は正規行列でもあります。すなわち、以下の関係が成り立ちます。

$$
AA^{} = A^{}A
$$

あらゆる正方行列 M は、エルミート行列 H と歪エルミート行列 A の合計として一意に表現できます。

$$
M = H + A
$$

これにより、行列 M + M はエルミート行列となり、M − M* は歪エルミート行列となります。一般に、歪エルミート行列の冪が PV の形式を取る場合、指数 p が奇数のとき歪エルミートであり、偶数のときはエルミートになります。

行列指数

歪エルミート行列が与えられた場合、その行列指数 $$e^{A}$$ はユニタリ行列に変換され、これによって固有値の絶対値が 1 となることが確認されています。これらの性質は、歪エルミート行列に関連する理論全般で非常に重要で、物理や数学のさまざまな分野に広く応用されています。

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