正規行列

正規行列：定義と性質

線形代数学において、正規行列は非常に重要な役割を果たす行列です。複素数を成分とする正方行列Aが正規であるとは、Aとそのエルミート共役行列Aが可換であることを意味します。つまり、以下の式が成り立ちます。

AA = AA

ここで、AはAの共役転置行列です。実数成分の行列の場合、AはAの転置行列に等しくなります。

正規行列の重要な性質として、対角化可能性が挙げられます。正規行列は、ユニタリ行列を用いて対角化することができます。この性質は、正規行列の解析や応用において非常に役立ちます。具体的には、正規行列Aは、ユニタリ行列Uと対角行列Λを用いて、以下の式で表すことができます。

A = UΛU

この式において、Λの対角成分はAの固有値、Uの列ベクトルはAの固有ベクトルに対応します。この対角化可能性は、正規行列のスペクトル分解や固有値問題の解法において、重要な役割を果たします。

正規行列の例

正規行列の特別な場合として、以下の行列が挙げられます。

ユニタリ行列: UU = UU = I (Iは単位行列)
エルミート行列: A = A
歪エルミート行列: A = -A
直交行列: 実数成分のユニタリ行列
対称行列: 実数成分のエルミート行列
歪対称行列: 実数成分の歪エルミート行列

しかし、全ての正規行列がこれらの特別な場合に分類されるわけではありません。例えば、以下のような行列も正規行列です。


[1, 1, 0]
[0, 1, 1]
[1, 0, 1]


この行列はユニタリ行列でもエルミート行列でも歪エルミート行列でもありません。

正規行列の演算

二つの正規行列AとBの和や積は、必ずしも正規行列になるとは限りません。しかし、AとBが可換である場合、つまりAB = BAを満たす場合、A+BとABも正規行列になります。この性質は、正規行列の解析において重要です。

スペクトル定理

正規行列の最も重要な性質の一つに、スペクトル定理があります。スペクトル定理は、正規行列がユニタリ行列によって対角化可能であることを保証する定理です。この定理により、正規行列の固有値と固有ベクトルに関する重要な情報を得ることができます。具体的には、正規行列の固有ベクトルは互いに直交し、固有空間は全体空間を張ります。

正規行列の同値な定義

正規行列を定義する方法は複数存在し、それらは互いに同値です。以下にいくつかの同値な定義を示します。

Aは正規行列である
Aはユニタリ行列で対角化可能である
Aの固有ベクトルは正規直交基底をなす
任意のベクトルxに対して||Ax|| = ||Ax||が成り立つ
tr(AA) = Σ|λj|^2 (λjはAの固有値)
Aのエルミート成分と歪エルミート成分が可換である
AがAの多項式で表せる
* A = UP (極分解) とするとき、UとPが可換である

これらの同値な定義は、正規行列の様々な性質を理解する上で役立ちます。

無限次元空間への拡張

正規行列の概念は、無限次元ヒルベルト空間上の正規作用素に拡張できます。この拡張により、関数解析や量子力学などの分野で正規作用素は重要な役割を果たします。

まとめ

正規行列は、線形代数学において重要な役割を果たす行列です。その対角化可能性、スペクトル定理、そして様々な同値な定義は、正規行列の性質を深く理解する上で不可欠です。また、無限次元空間への拡張は、関数解析や量子力学などの分野への応用を可能にします。

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