決定性公理

決定性公理について

決定性公理（英: axiom of determinacy、略称 AD）は、1962年にミシェルスキー（Jan Mycielski）とユゴー・スタインハウス（Hugo Steinhaus）によって提案された集合論の基礎的な公理です。この公理は、特にゲーム理論に関連しており、可算無限の手番を持つ二人のプレイヤー間で行われる完全情報ゲームにおいて、いずれかのプレイヤーが必勝法を持つことを主張しています。

決定性公理とその特徴

決定性公理は、特定の集合に関連するゲームが全て決定的である、つまり存在する集合の選び方によって必勝戦略を持つプレイヤーが決まることを示します。この公理は、公理的集合論における選択公理と矛盾する特性を持つ点が、数学者の間で重要な議論の対象となっています。

選択公理に基づく理論では、実数の部分集合の中にルベーグ可測ではないものが存在することが指摘されており、これは決定性公理との直接的な対立点となります。ADを仮定すると、任意の実数の部分集合が「ルベーグ可測である」「ベールの性質を持つ」「完全集合性を持つ」ことが導かれます。特に、実数の部分集合が完全集合性を持つとは、任意の非可算な実数の部分集合が実数と同じ濃度を持つことを意味します。

ADは、集合論の最小モデルであるL(R)において成立することが指摘されており、これは選択公理の弱い形だけを許容します。これにより、全ての実数と順序数を包含することが可能となります。

ゲームの形式と決定性の証明

決定性公理は、特定のゲームの形式について次のように定義されます。ベール空間 ωω（自然数の無限列全体）の部分集合 Aにおいて、二人のプレイヤー I と II が自然数を交互に選択し、無限回の手番の後に生成される列が A の元であれば、プレイヤー I が勝利します。このようなゲームが決定的だというのが、決定性公理の主張です。

例えば、Aが開集合または閉集合である場合、このゲームは本質的に有限のゲームになりますので、その際は決定的となります。また、マーティンによって1975年に示された結果では、勝利条件の集合 Aがボレル集合であればそのゲームは決定的であることが証明されています。

選択公理との対立

選択公理のもとで決定性公理の反例を示すことが可能です。戦略とは、プレイヤーが次の手番で何を選ぶかを決めるルールのことで、これを基にして、決定的でない集合を構成することができるのです。この過程では、プレイヤー Iと IIの戦略集合を整列し、超限再帰を用いて非決定的な集合を作り出すことが可能です。この結果、いかなる戦略についても必勝法が存在しないことが示され、選択公理と決定性公理が共存し得ないことが分かります。

無限論理と関連性

決定性公理は、無限論理を用いても表現できる特性があります。このことからも、決定性公理は多様な数学的文脈で重要な役割を果たしています。また、巨大基数に関連する理論とも結びついており、決定性公理の無矛盾性は巨大基数の存在と深く関わっています。これは、無限個のウッディン基数の存在と無矛盾であることが示され、遂にはL(R)におけるADの成立を導き出します。

結論

決定性公理は、集合論やゲーム理論において重要な概念であり、選択公理との相互作用における論争から新たな洞察を生み出しています。数学者たちは、この公理から得られる帰結が、さらなる研究や発展の基盤となりうることを理解しています。

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