演算子 (物理学)

演算子とは

物理学における演算子（えんざんし、operator）は、特定の物理的状態の空間から別の状態の空間へと変換する機能を持つ関数です。この概念は古典力学や量子力学の両方において極めて重要であり、特に量子力学ではその役割が一層重要視されます。

古典力学での演算子

古典力学では、物体や粒子の運動は、ラグランジアン（L）やハミルトニアン（H）と呼ばれる関数によって具体化されます。これらの関数はそれぞれ、一般化座標qや一般化速度、共役運動量pに依存しています。例えば、ハミルトニアンは次のように表されます。

$$H(q,p,t)$$

もし、LやHがある一般化座標qに依存しない場合、その座標が変化してもLやHは不変です。これにより、系の力学的性質は変わらず、運動量pも保存されます。この現象はネーターの定理にも関連し、物理システムの対称性を示しています。したがって、古典力学における演算子は、これらの対称性を示す重要な役割を担っています。

不変性に関して、ハミルトニアンが変換群Gの作用の下で不変である場合、次のような式が成り立ちます。

$$H(S(q,p)) = H(q,p)$$

ここで、Gの元は物理的な演算子であり、物理状態に対応しています。

量子力学での演算子

次に、量子力学における演算子について考えます。量子力学では、期待値を求める式に関連して演算子が用いられます。具体的には、期待値は以下のように表されます。

$$egin{align}
ext{期待値} ⟨ f(p) ⟩ &= ∫ ψ^{}(r',t) figg(rac{ℏ}{i} ∇igg) ψ(r,t) d^{3}r
ext{ここで、} rac{ℏ}{i} ∇& ext{が演算子に対応します。}
egin{align}$$

この文脈において、位置演算子は次のように表されます。

$$egin{align}
ext{位置演算子} \, \, \, & \, \, \, \, \, \, \, \
ext{位置表示の波動関数} ψ(x) & → \, \, \, { ext{位置演算子} \, \ ext{運動量演算子}} \
& = -i ℏ rac{∂}{∂x}
ext{運動量表示の波動関数} ψ(p) & → \, \, \, { ext{運動量演算子} \, \ ext{位置演算子}} \
& = { ext{p}} \ ext{運動量演算子} & = i ℏ rac{∂}{∂p}
egin{align*}$$

ここでは、iは虚数単位、ℏ（ディラック定数）が重要な定数として関与します。量子力学における演算子同士は必ずしも交換可能ではありません。たとえば、位置演算子と運動量演算子は次のように表される非可換性を持っています。

$$[{ ext{位置演算子}},{ ext{運動量演算子}}] = i ℏ$$

このように、演算子の性質は古典力学と量子力学の間で異なり、それぞれの理論において不可欠な要素となっています。演算子を通じて、物理的な法則をより深く理解し、系の振る舞いを予測することが可能になります。

まとめ

演算子は、古典力学において対称性を表現し、量子力学では物理的状態を変換する力を持つ重要な工具であることが分かります。この概念の深い理解は、物理学の理論をより明確にし、研究を進める上で不可欠な要素となるでしょう。

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