点付き集合

点付き集合とは

数学における「点付き集合」とは、特定の要素を持つ集合のことを指します。この特定の要素を基点と呼び、一般的に (X, x0) と表現されます。ここで、X は集合、x0 はその中の特定の元です。基点付き集合は、反マトロイドや輸送多面体といった分野で自然に現れる概念です。また、点付き集合間の写像は基点を維持した写像として知られています。つまり、点付き集合 (X, x0) から (Y, y0) への写像 f は、X の各要素を Y の要素に写しつつ、x0 を y0 に対応させます。

点付き集合の性質

点付き集合は、その特性からさまざまな視点で理解することができます。例えば、離散位相を持つ空間として見ることや、一元体上のベクトル空間と考えることも可能です。このように、多様な視点でアプローチすることができるため、点付き集合は数学の多くの分野で活用されています。

代数的構造としての点付き集合

点付き集合を代数的に考察すると、選ばれた基点により現れる単純な構造と見ることができます。このような基点の選択は、零項演算として機能し、普遍代数学における重要な要素となります。さまざまな代数的構造が点付き集合として扱えることが分かります。たとえば、群を考える場合、単位元を基点として選択することで、基点付き集合としての特性を持ち、群準同型は点付き写像となります。

点付き集合の圏

点付き集合の全ての構成要素は、点付き写像とともに圏を構成します。この圏は Set∗ と呼ばれ、点付き一元集合 ({a}, a) が始対象及び終対象となり、したがって零対象とも見なされます。通常の集合の圏 Set から点付き集合の圏への函手が存在しますが、これは充満ではないため、両者は圏同値とはなりません。また、空集合は基点を持たないため、点付き集合として構成できません。

Set∗ の特徴

点付き集合の圏 Set∗ は集合と部分写像の圏に圏同値であることが知られていますが、圏同型ではありません。このことは、仮想的な元の追加を通じて形成された構造が、特に位相空間論や計算機科学の理論において興味深い結果をもたらすことを示しています。さらに、Set∗ は余スライス圏 1↓Set に同型であり、連続的に積と余積を持つ性質がありますが、分配圏の特性は持ちません。

関連項目

• - 点付き到達可能グラフ
• - 入門書: Saunders Mac Lane『Categories for the Working Mathematician』（第2版）

参考文献

• - Saunders Mac Lane (1998). Categories for the Working Mathematician (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8. Zbl 0906.18001

外部リンク

• - MathOverflow (英語)
• - PlanetMathの点付き集合
• - nLabでの点付きオブジェクト

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