無限インパルス応答

無限インパルス応答（IIR）フィルタ

無限インパルス応答（Infinite Impulse Response、IIR）フィルタは、その名の通り、インパルス応答が無限の時間にわたって続くフィルタです。これは、出力が過去の出力値に依存するフィードバック構造を持つためです。IIRフィルタは、有限インパルス応答（FIR）フィルタと比較して、少ない計算量で急峻なフィルタ特性を実現できるという利点があります。

IIRフィルタの基本原理

IIRフィルタは、主にアナログ回路で構成されるフィルタをデジタル信号処理に応用したものです。アナログIIRフィルタの例としては、RCフィルタがあり、これは抵抗とコンデンサで構成され、指数関数的なインパルス応答を示します。デジタルIIRフィルタは、このアナログフィルタの特性を保持しつつ、デジタル信号処理に対応できるように設計されています。

デジタルIIRフィルタの表現

デジタルIIRフィルタは、以下の差分方程式で表現されます。

math
a_0 y[n] = \sum_{i=0}^{P} b_i x[n-i] - \sum_{j=1}^{Q} a_j y[n-j]


ここで、\(x[n]\)は入力信号、\(y[n]\)は出力信号、\(b_i\)はフィードフォワード係数、\(a_j\)はフィードバック係数です。この式は、現在の出力\(y[n]\)が、過去の入力\(x[n-i]\)と過去の出力\(y[n-j]\)の両方に依存していることを示しています。

この差分方程式をZ変換を用いて表現すると、伝達関数\(H(z)\)は以下のようになります。

math
H(z) = \frac{\sum_{i=0}^{P} b_i z^{-i}}{\sum_{j=0}^{Q} a_j z^{-j}}

IIRフィルタの設計

デジタルIIRフィルタの設計は、通常、まずアナログIIRフィルタ（バターワースフィルタ、チェビシェフフィルタ、楕円フィルタなど）を設計し、その後、インパルス不変法や双一次変換などの離散化手法を用いてデジタルフィルタに変換するという手順で行われます。

IIRフィルタの安定性

IIRフィルタの安定性は非常に重要です。フィルタが安定であるためには、伝達関数\(H(z)\)のすべての極の絶対値が1未満である必要があります。つまり、すべての極がz平面上の単位円の内側に存在する必要があります。

極は、伝達関数の分母が0になるようなzの値として定義されます。

math
0 = \sum_{j=0}^{Q} a_j z^{-j}


FIRフィルタとは異なり、IIRフィルタはフィードバックループを持つため、極が単位円の外側にあると、出力が発散して不安定になります。

IIRフィルタとFIRフィルタの比較

IIRフィルタは、FIRフィルタに比べて、同じフィルタ特性を達成するために必要な計算量が少ないという利点があります。しかし、FIRフィルタは常に安定であるのに対し、IIRフィルタは設計時に安定性を考慮する必要があるという欠点もあります。

具体例

伝達関数\(H(z)\)が以下のように与えられた場合を考えます。

math
H(z) = \frac{1}{1 - a z^{-1}}


ここで、\(|a| < 1\)とします。この場合、極は\(z = a\)にあり、\(|a| < 1\)であるため、このフィルタは安定です。このフィルタの時間領域のインパルス応答は、

math
h(n) = a^n u(n)


となり、\(n \geq 0\)でゼロ以外の値をとります。

まとめ

IIRフィルタは、デジタル信号処理において非常に重要な役割を果たしています。その特性を理解し、適切に設計することで、さまざまなアプリケーションで利用できます。安定性の考慮は不可欠であり、設計時には十分な注意が必要です。

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