狭義正測度

狭義正測度

狭義正測度（Strictly Positive Measure）とは、この測度論の領域において、特に「至る所でゼロでない」か、または「点上においてのみゼロ」という特性を持つ測度のことを指します。数学の様々な分野と同様に、測度論でも定義や性質が重要です。以下に、狭義正測度についての詳細な説明を行います。

定義

まず、狭義正測度を理解するためには、ハウスドルフ位相空間 (X, T) の概念を考慮する必要があります。ここで、ΣはX上の完全加法族であり、位相Tを含むようなものとします。全ての開集合が可測集合であり、Σは少なくともX上のボレルσ-代数と同等の性質を持つ必要があります。このとき、測度μが狭義正であるための条件は、X 内のすべての空でない開集合の測度がゼロでないことです。数学的に表現すると次のようになります：

$$orall U ext{ s.t. } U
eq ext{∅}, oldsymbol{ ext{μ(U) > 0}}$$

例

狭義正測度の具体的な例を考えてみましょう。例えば、任意の位相空間を持つ集合X上の数え上げ測度は常に狭義正です。一方で、ディラック測度は、特定の条件において狭義正ではないことが多いです。たとえば、ボレル位相とσ-代数を使った実数直線R上のδ0測度は、狭義正ではありません。しかし、もしRが自明位相 T = {∅, R}を持つ場合、δ0は狭義正になります。この例は、狭義正性が位相により影響を受けることを示しています。

さらに、ボレル位相とそのσ-代数を伴うユークリッド空間Rn上のガウス測度は狭義正です。また、Rn内の連続経路を含む空間上のウィーナー測度も狭義正であり、これは無限次元空間でのガウス測度の一例です。さらに、Rn上のルベーグ測度も狭義正です。

自明測度については注意が必要で、どのような空間Xや位相においても、決して狭義正にはなりません。ただし、空の空間の場合は例外です。

性質

狭義正測度の重要な性質の一つに、別の測度がある測度と関係する場合の挙動があります。例えば、可測なの[位相空間]上において、測度μが狭義正であると仮定します。そして、別の測度νが絶対連続である場合、νも狭義正となります。このことは、UがXの任意の開集合であれば、μ(U) > 0という狭義正の特性から、ν(U) > 0が成り立つため、簡単に証明できます。つまり、狭義正の特性は、測度の同値性に依存せずに保持されます。

関連項目

狭義正であるための別の重要な概念は「台」です。この台が全空間であることが、狭義正であるための必要条件であることが知られています。狭義正測度の理解は測度論の基本的な構成要素であり、数学のさまざまな応用においても重要です。

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