球面座標系

球面座標系とは

球面座標系は、3次元ユークリッド空間における点の位置を、動径距離（原点からの距離）と二つの角度で表現する座標系です。具体的には、以下の三つの要素で構成されます。

動径座標 (r): 原点からその点までの距離を表します。0以上の実数値をとります。
天頂角 (θ): 通常はz軸（鉛直上向き）を基準とした、動径とz軸のなす角を表します。0からπ（180度）までの範囲で変化します。
方位角 (φ): x-y平面に動径を投影した線と、x軸とのなす角を表します。−πからπ（-180度から180度）まで、または0から2π（0度から360度）までの範囲で変化します。

直交座標系との変換

[球面]]座標系(r, θ, φ)から[[直交座標系]への変換は、以下の式で表されます。

x = r sinθ cosφ
y = r sinθ sinφ
z = r cosθ

逆に、[直交座標系]から球面座標系(r, θ, φ)への変換は、以下のようになります。

r = √(x² + y² + z²)
θ = arccos(z / r) (ただし、r ≠ 0)
φ = arctan(y / x) (ただし、x ≠ 0)

方位角φを計算する際、x=0の場合や、yの符号に応じて場合分けが必要です。符号関数sgnを利用すると以下のようにも表現できます。

φ = sgn(y)arccos(x/√(x²+y²))

ここでsgnは符号関数です。

ただし、z軸上(x, y)=(0, 0)の場合、方位角φは定まりません。また、原点(x, y, z)=(0, 0, 0)では、天頂角θも定まりません。

ヤコビ行列と体積素

球面座標系から直交座標系への変換を微分すると、ヤコビ行列とヤコビ行列式が得られます。ヤコビ行列式は、座標変換における体積要素のスケール変化を表し、球面座標系での体積要素はr²sinθdrdθdφとなります。

線素の二乗はdr² + r²dθ² + r²sin²θdφ²となり、交差項がないため、球面座標は各点で、動径、天頂角、方位角が増減する方向に直交する座標系となります。

ベクトル解析における球面座標系

単位ベクトル

球面座標系における位置ベクトルの偏微分により、以下の単位ベクトルが定義されます。

er: 動径方向の単位ベクトル
eθ: 天頂角が増加する方向の単位ベクトル
eφ: 方位角が増加する方向の単位ベクトル

これらの単位ベクトルは、直交座標系の単位ベクトルex、ey、ezを用いて表すことができます。

また、これらの単位ベクトルの内積は、以下のようになります。er⋅er = 1, eθ⋅eθ = 1, eφ⋅eφ = 1, それ以外は0となるため、正規直交基底を形成します。

ベクトル積

球面座標の単位ベクトル間のベクトル積は、以下のように表されます。

er × eθ = eφ
eθ × eφ = er
eφ × er = eθ

この関係から、球面座標系はr, θ, φの順番で向き付けられた座標であることがわかります。

面積素とベクトル場の成分表示

曲面上の点がパラメータu, vで指定されるとき、面積素ベクトルは∂r/∂u × ∂r/∂vで与えられます。球面座標系において、任意のベクトル場Aは、A = Ar er + Aθ eθ + Aφ eφのように成分表示できます。

ベクトル場の微分

ベクトル場の球面座標における微分は、複雑な式になります。以下に、スカラー場の勾配、ベクトル場の発散、ベクトル場の回転について、球面座標における表現を示します。

スカラー場の勾配

スカラー場f(x)の勾配は、∇f = (∂f/∂r)er + (1/r)(∂f/∂θ)eθ + (1/(rsinθ))(∂f/∂φ)eφで与えられます。

ベクトル場の発散

ベクトル場Aの発散は、∇⋅A = (1/r²)(∂/∂r)(r²Ar) + (1/(rsinθ))(∂/∂θ)(sinθAθ) + (1/(rsinθ))(∂Aφ/∂φ)で与えられます。

ベクトル場の回転

ベクトル場Aの回転は、

∇×A = (1/(rsinθ))[∂/∂θ(sinθAφ) − ∂Aθ/∂φ]er + (1/r)[1/sinθ(∂Ar/∂φ) - ∂/∂r(rAφ)]eθ + (1/r)[∂/∂r(rAθ) − ∂Ar/∂θ]eφ

で与えられます。

球面座標系の応用

球面座標系は、その対称性から球や球対称な問題を扱う際に非常に有効です。天文学や地球科学、物理学などの分野で幅広く利用され、例えば、天体の位置を表す天球座標系や、電磁気学における電場や磁場の計算などに用いられます。

関連項目

天球座標系
極座標系
* 球面

もう一度検索