発散 (ベクトル解析)

発散:ベクトル場の流れの度合い



ベクトル解析における発散は、ベクトル場における各点での流れの出入りを表す重要な概念です。簡単に言えば、ある点からどれだけベクトルが湧き出るか、あるいは流れ込むかをスカラー値で表すものです。

発散の定義と物理的解釈



発散は、ベクトル場が各点においてどのように流動的に振舞うかを表す尺度です。例えば、温度変化のある空気の各点の移動速度ベクトル場を考えてみましょう。空気を熱すると、膨張した空気は四方八方に広がり、その領域からは外向きに速度ベクトルが生じます。この速度場の発散は加熱された領域で正の値を示し、この領域は周囲に空気を送り出す「湧き出し源」となります。逆に、空気が冷却され収縮すると、その領域の発散は負の値となり、「流れ込む領域」を形成します。

数学的には、点pにおけるベクトル場Fの発散は、点pを含む微小領域ΩにおけるFの正味の流れをΩの体積で割った極限として定義されます。これは、領域の境界を通過するFの法線成分の面積分を体積で割ったものとして表現できます。

math
(\operatorname{div} \mathbf{F})_p := \lim_{\Omega \to \{p\}} \frac{1}{\operatorname{vol}(\Omega)} \oint_{\operatorname{bd}(\Omega)} (\mathbf{F} \cdot \mathbf{n}) \, dS


ここで、nは境界に垂直な外向きの単位ベクトルです。この定義から、発散はベクトル場の流れの密度(発散密度)を表していることがわかります。

様々な座標系における発散



発散は座標系に依存しますが、その物理的意味は不変です。主な座標系における発散の式を以下に示します。

デカルト座標系



ベクトル場 F = Ui + Vj + Wk の発散は、

math
\operatorname{div} \mathbf{F} =
abla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial U}{\partial x} + \frac{\partial V}{\partial y} + \frac{\partial W}{\partial z}


となります。

円柱座標系



ベクトル場 F = Frer + Fθeθ + Fzez の発散は、

math
\operatorname{div} \mathbf{F} =
abla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}(r F_r) + \frac{1}{r} \frac{\partial F_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial F_z}{\partial z}


となります。

球座標系



ベクトル場 F = Frer + Fθeθ + Fϕeϕ の発散は、

math
\operatorname{div} \mathbf{F} =
abla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}(r^2 F_r) + \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}(\sin \theta F_\theta) + \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial F_\phi}{\partial \phi}


となります。

発散定理



発散定理は、ある領域内の発散の体積積分が、その領域の境界を通るベクトル場の流れの面積積分に等しいという定理です。これは、発散が流れの局所的な湧き出しや流れ込みを表していることを示しています。

発散の性質と公式



発散にはいくつかの重要な性質があります。例えば、発散作用素は線形作用素であり、積の微分法則やベクトル積の微分法則なども存在します。これらの性質はベクトル場の解析に広く用いられます。

分解定理



十分遠方で消えるベクトル場を、無回転成分と無発散成分に分解できることを示す定理です。この定理は、ベクトル場を理解する上で非常に有用です。

一般化



発散の概念は、より高次元空間や多様体へと一般化することができます。リーマン多様体やローレンツ多様体上での発散は、計量テンソルを用いて定義されます。これらの一般化された発散は、一般相対性理論などの分野で重要な役割を果たします。

まとめ



発散はベクトル場の流れの重要な性質を表す概念であり、様々な数学的および物理的な応用を持ちます。その定義、性質、計算方法、そして様々な空間における表現を理解することは、ベクトル解析を学ぶ上で重要です。

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