面積分

面積分：曲面上の積分

ベクトル解析における面積分は、曲面上での積分であり、二重積分として扱うことができます。これは、線積分の高次元版と考えることができます。曲面上にスカラー場やベクトル場が定義されている場合、それらを積分することができます。面積分は、特に電磁気学などの物理学の分野で重要な役割を果たします。

面素

滑らかな曲面S上の点の座標を媒介変数u, vを用いてx = S(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))と表すことができます。このとき、


は、曲面Sの面積要素（面素）と呼ばれ、dσで表されます。これは、∂S/∂uと∂S/∂vのベクトル積の大きさです。この面素は、第一基本量E, F, Gを用いて、√(EG - F²)と表すこともできます。第一基本量は、曲面の局所的な形状を記述する量です。

スカラー場の面積分

曲面S上で定義されたスカラー場fについて考えます。f(x)を各点xにおける密度とみなすと、fの面積分∫Sf dSは、Sの単位厚さあたりの質量を表します。この積分は、曲面を微小な面積要素に分割し、各要素の面積と密度を掛け合わせて、それらを足し合わせることで計算できます。媒介変数表示x(s, t)を用いると、面積分は次のように表されます。

∫Sf dS = ∬T f(x(s, t))|∂x/∂s × ∂x/∂t| ds dt

ここで、|∂x/∂s × ∂x/∂t|は、面積要素を表します。例えば、z = f(x, y)で表される曲面の面積を求める場合、面積Aは次式で与えられます。

A = ∬T √((∂f/∂x)² + (∂f/∂y)² + 1) dx dy

この式は、曲面の法線ベクトルを用いて表現することもできます。法線ベクトルは(-∂f/∂x, -∂f/∂y, 1)で表されます。

ベクトル場の面積分

曲面S上のベクトル場vについて考えます。ベクトル場の面積分は、成分ごとのスカラー場の面積分として定義できます。これは、例えば、帯電した曲面から発生する電場や、物質面から発生する重力場を計算する際に用いられます。

ベクトル場の法成分を積分することもできます。流体の流れを考えると、単位時間当たりにSを通過する流体の量は、流束として定義されます。流束は、ベクトル場vと曲面の法線ベクトルnとの内積v・nを積分することで計算できます。

∫S v・dS = ∫S (v・n) dS = ∬T v(x(s, t))・(∂x/∂s × ∂x/∂t) ds dt

この式において、∂x/∂s × ∂x/∂tは、媒介変数表示されたSの法ベクトル場です。

2-形式の面積分

曲面S上の2-形式f = fz dx∧dy + fx dy∧dz + fy dz∧dxについて考えます。Sの向きを保つ媒介表示x(s, t)を用いると、fの面積分は次のように表されます。

∬D [fz(x(s, t))∂(x, y)/∂(s, t) + fx(x(s, t))∂(y, z)/∂(s, t) + fy(x(s, t))∂(z, x)/∂(s, t)] ds dt

ここで、∂(x, y)/∂(s, t)などはヤコビアンを表します。この2-形式の面積分は、[ベクトル場]の面積分と同じです。

面積分に関する定理

発散定理やストークスの定理など、面積分に関する有用な定理が微分幾何学やベクトル解析によって得られます。

注意点

面積分の定義は、曲面の媒介変数表示に依存します。スカラー場の面積分は、媒介変数表示の取り方に依らず値は変わりません。しかし、ベクトル場の面積分は、法ベクトルの向きに依存します。法ベクトルの向きが逆になると、面積分の値は符号が逆になります。また、曲面全体を一つの媒介変数表示で覆えない場合、曲面を小片に分割して積分する必要があります。この際、法ベクトルの向きを一貫して選ぶ必要があります。向き付け不可能な曲面（例えば、メビウスの帯）では、ベクトル場の面積分を定義することができません。

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