直交多項式

直交多項式列（Orthogonal Polynomial Sequence / System of Orthogonal Polynomials）

数学において、直交多項式列（または直交多項式系）とは、ある特定の「内積」と呼ばれる計算に関して、互いに『直交する』（内積がゼロになる）性質を持つ多項式の集まりのことです。これは、幾何学におけるベクトルの直交性（垂直であること）の概念を、関数の空間、特に多項式の空間に拡張したものと言えます。

定義

直交性を定義するためには、まず多項式に対する「内積」を定めます。一般的に、実数直線上で定義された非減少関数 $\alpha(x)$ を用いたルベーグ–スティルチェス積分によって、二つの多項式 $f(x)$ と $g(x)$ の内積 $\langle f, g \rangle$ は次のように定義されます。

$\langle f, g \rangle = \int f(x)g(x) \; d\alpha(x)$

この積分が任意の多項式に対して有限である場合に、この内積が意味を持ちます。そして、次数が異なる任意の二つの多項式 $P_m(x)$ と $P_n(x)$ について、$m
eq n$ のときに内積 $\langle P_m, P_n \rangle$ が常にゼロとなる場合、その多項式からなる列 $P_0(x), P_1(x), P_2(x), \dots$ は『直交多項式列』と呼ばれます。ここで、各 $P_n(x)$ は次数が $n$ であるとします。

直交多項式列は、基本的な単項式列 $1, x, x^2, \dots$ に対して、この定義された内積のもとでグラム–シュミットの直交化法を適用することによって、次数順に系統的に構成することができます。

さらに、自分自身との内積 $\langle P_n, P_n \rangle$ が1に等しいという条件（『正規化』）を満たす場合、「正規直交多項式列」と呼びます。この正規化条件を加えることで、直交多項式列は定数倍を除いて一意に定まります。

特に、積分に用いる測度 $d\alpha(x)$ が、ある非負の関数 $W(x)$（「重み関数」と呼ばれる）と通常のルベーグ測度 $dx$ を用いて $W(x) \; dx$ と書ける場合、内積は特定の区間上の積分の形で表現されます。

$\langle f, g \rangle = \int_{x_1}^{x_2} f(x)g(x)W(x) \; dx$

しかし、全ての直交多項式列がこのような重み関数を持つわけではなく、不連続点を持つ測度に関して直交する場合もあります。

主な例

様々な直交多項式列が存在しますが、その中でも特に重要なのが「古典直交多項式列」です。これには、物理学や工学など広く応用されるエルミート多項式、ラゲール多項式、そして、代数や解析学で中心的なヤコビ多項式が含まれます。ヤコビ多項式の特別な場合として、球面調和関数に関連するルジャンドル多項式や、近似理論や数値解析に不可欠なチェビシェフ多項式、そしてゲーゲンバウアー多項式などがあります。これらの多項式は、それぞれ異なる重み関数と積分区間に関して直交します。

他にも、離散的な点集合上で定義された内積に関する離散直交多項式（例：ハーン多項式、クラウチューク多項式）、複素平面上の単位円上で直交する多項式（例：ロジャース–セゲー多項式）、さらには平面領域上で定義される多変数直交多項式（例：ゼルニケ多項式、マクドナルド多項式列）など、応用に応じて多岐にわたる直交多項式列が研究されています。

重要な性質

実数直線上の非負測度に関する一変数直交多項式列は、いくつかの重要な性質を満たします。

漸化式: 各直交多項式 $P_n(x)$ は、それより次数の低い2つの多項式 $P_{n-1}(x)$ と $P_{n-2}(x)$ を用いて、次のような3項間漸化式を満たします。
$P_n(x) = (A_n x + B_n) P_{n-1}(x) + C_n P_{n-2}(x)$
この性質は直交多項式列を特徴づける基礎であり、「ファヴァールの定理」として知られています。

零点: 多項式 $P_n(x)$ の根（零点）は全て実数であり、互いに異なります（重根を持ちません）。さらに、内積を定義する測度が集中している区間（台）内に全ての零点が存在します。この零点の性質は、多項式補間やガウス型求積法といった数値解析の手法において非常に重要です。

* 零点の配置（交絡性質）: 次数の異なる二つの多項式 $P_m(x)$ と $P_n(x)$ ($m > n$) の零点には特殊な配置関係があり、$P_m(x)$ の各零点は、$P_n(x)$ の隣り合う二つの零点の間にあるという性質（交絡性質）が知られています。

その他にも、積分区間上のモーメントとの関係を行列式で表現できたり、クリストッフェル–ダルブーの公式と呼ばれる恒等式を満たしたりします。

歴史と応用

直交多項式系の研究は、19世紀後半にチェビシェフが連分数の研究に関連して始めたのが端緒とされ、その後マルコフやスティルチェスらによって発展しました。セゲー・ガーボル、セルゲイ・ベルンシュテイン、リチャード・アスキーといった数多くの数学者たちが、この分野に貢献しています。

直交多項式は、微分方程式の解として現れたり、関数の近似、フーリエ級数の一般化、確率論、数理物理学（特に量子力学）、数値解析における求積法や補間など、純粋数学だけでなく幅広い分野で理論的・応用的に重要な役割を果たしています。

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