相似次元

相似次元

相似次元（similarity dimension）とは、特定の種類の図形が持つ自己相似性という性質に着目して定義される次元です。特に、数学的に厳密に定義された人工的なフラクタル図形の次元を測る際に用いられます。一般的な直線が1次元、平面が2次元、空間が3次元であるように、相似次元も図形の空間的な広がりを示すものですが、その値は必ずしも整数になるとは限りません。

定義の考え方

相似次元は、「ある図形を一定の比率で縮小したとき、元の図形を復元するためにはその縮小された図形がいくつ必要か」という観点から導き出されます。

具体的には、元の図形を$1/r$の相似比で縮小したとき、その縮小された図形をちょうど$N$個集めることで元の図形と全く同じ形を再現できるとします。このとき、これらの間には次の関係が成り立ちます。

$N = (1/r)^{-D_s}$

ここで、$D_s$がその図形の相似次元です。この式は、対数を使うと次のように変形できます。

$D_s = \frac{\log(N)}{\log(r)}$

つまり、相似次元は、元の図形を$1/r$に縮小したときの必要なコピーの個数$N$と、縮小率$r$の対数の比によって定義されるのです。直感的には、次元$D_s$の図形を$1/r$に縮小すると、$r^{D_s}$個のコピーが必要になる、と理解できます。例えば、2次元の正方形を$1/2$に縮小すると、元の正方形は$2^2 = 4$個の小さな正方形で構成されます。3次元の立方体を$1/2$に縮小すると、$2^3 = 8$個の小さな立方体で構成されます。

より単純な場合として、元の図形が、それ自身を$1/a$に縮小した相似図形$b$個から構成されている場合を考えます。このとき、$r=a$、$N=b$となるため、相似次元は次のように簡単に計算できます。

$D_s = \frac{\log(b)}{\log(a)} = \log_a b$

この定義の優れた点は、異なる縮小率を考えても、計算される相似次元の値が一貫していることです。ある縮小率で求めた次元は、別の縮小率で計算しても同じ値になります。

具体例

相似次元が非整数値をとる例として、有名なフラクタル図形があります。

カントール集合: 線分を3等分し、中央の部分を取り除いてできる2つの線分からなります。これを無限に繰り返して得られる図形がカントール集合です。この図形は、自身を$1/3$に縮小したコピー2個で構成されています。したがって、$a=3, b=2$となり、相似次元は次のようになります。
$D_s = \frac{\log(2)}{\log(3)} \approx 0.6309$
これは1次元未満の非整数値です。

コッホ曲線: 線分を3等分し、中央の部分を底辺とする正三角形を付加する操作を無限に繰り返して得られる曲線です。この曲線は、自身を$1/3$に縮小したコピー4個から構成されています。したがって、$a=3, b=4$となり、相似次元は次のようになります。
$D_s = \frac{\log(4)}{\log(3)} \approx 1.2618$
これは1次元より大きく2次元未満の非整数値です。

これらの例からわかるように、フラクタル図形の相似次元は、直感的なユークリッド次元（1次元、2次元、3次元など）とは異なり、非整数値をとることが大きな特徴です。これは、フラクタル図形が微細な構造を持ち、どんなに拡大しても同じようなパターンが現れる自己相似性を持っているためです。

容量次元との関係

相似次元は、あくまで厳密な自己相似性を持つ人工的な図形に対して有効な定義です。実際の自然界に存在する図形（海岸線、雲の形、血管のネットワークなど）は、厳密な意味での自己相似性を持たないことがほとんどです。このような現実の複雑な図形の次元を測るためには、相似次元の考え方を拡張した容量次元（またはボックスカウンティング次元）などの別のフラクタル次元が用いられます。容量次元は、図形を覆うのに必要な、ある大きさの箱（または球）の個数が、箱の大きさによってどのように変化するかを調べることで定義されます。

相似次元は、フラクタル幾何学における最も基本的で直感的な次元の定義の一つであり、図形の自己相似的な複雑さを定量的に表現する上で重要な概念です。

もう一度検索