積 (圏論)
圏論における「積」（product）は、数学の様々な分野に見られる直積（デカルト積、群の直積、位相空間の直積など）といった構成の本質的な側面を捉えるために考案された重要な概念です。複数の対象の積とは、おおまかに言えば、与えられた対象のそれぞれへ射を持つ「最も一般的な」対象のことを指します。
ある圏Cにおいて、特定の対象X1とX2の「積」は、圏Cの対象であるX1 × X2と、そこからそれぞれの対象への二つの射影射π1: X1 × X2 → X1 および π2: X1 × X2 → X2 の組として定義されます。この組は以下の「積の普遍性」と呼ばれる条件を満たさなければなりません。
積の普遍性（二対象の場合）
任意の対象Yと、そこからX1への射f1: Y → X1、およびX2への射f2: Y → X2 が与えられたとします。このとき、対象Yから積X1 × X2へのただ一つの射f: Y → X1 × X2 が存在して、π1 ∘ f = f1 かつ π2 ∘ f = f2 という関係（図式の可換性）が成り立ちます。この一意的に定まる射fは、f1とf2の「射の積」と呼ばれ、⟨f1, f2⟩ と表記されることもあります。射π1, π2は「自然な射影」あるいは「標準射影」と呼ばれます。
この定義は、二つの対象に対するものですが、任意の添字集合Iで指定された対象の族{Xi}i∈I に対しても同様に積を定義できます。対象族の積Xは、対象Xと射影の族πi: X → Xi (i ∈ I) の組で、任意の対象Yと射族fi: Y → Xi (i ∈ I) に対し、一意的な射f: Y → X が存在し、任意のiについて πi ∘ f = fi となる普遍性を満たします。この積Xはしばしば ∏i∈I Xi と表記されます。Iが有限集合 {1, ..., n} の場合は、X1 × ⋯ × Xn と書かれ、射の積も⟨f1, ..., fn⟩のように表されます。
普遍性を図式で表現する代わりに、等式を用いて定義することも可能です。例えば二項の積の場合、一意的な射fの存在は演算⟨–, –⟩の存在で、図式の可換性は πi ∘ ⟨f1, f2⟩ = fi (i=1,2) という等式で、fの一意性は任意のfに対し ⟨π1 ∘ π2⟩ = f が成り立つことで保証されます。
また、積は「極限」の特別なケースとして捉えることもできます。極限の定義に現れる図式として、対象のみで恒等射以外の射を持たない「離散圏」を用いることで、積の定義が極限の定義と一致することが分かります。この場合、射族{fi}i∈Iは錐、射影は極限（極限錐）に相当します。
さらに、積は「普遍構成」の特別な場合でもあります。二つの対象を持つ離散圏Jを考えると、対象Xを対(X, X)に対応させる対角関手Δ: C → C × C を考えることができます。圏Cにおける積X1 × X2 は、この対角関手Δから圏C×Cの対象(X1, X2)への「普遍射」として与えられることが示されます。
圏論的な積の概念は、様々な圏において馴染みのある構造として現れます。
集合の圏 (Set): 対象の族Xiに対する積は、通常のデカルト積（集合の直積）∏i∈I Xi と、成分を取り出す写像としての自然な射影πj: ∏i∈I Xi → Xj (πj((xi)i∈I) = xj) の組です。
位相空間の圏: 対象の族に対する積は、台集合のデカルト積に、すべての射影を連続にする最も粗い位相（積位相）を入れた空間です。
加群の圏: ある環R上の加群の圏における積は、台集合のデカルト積に成分ごとの演算を入れた直積加群です。
群の圏: 積は、台集合のデカルト積に成分ごとの積を入れた直積群によって与えられます。
関係の圏 (Rel): この圏では、積は少し意外にも「非交和」（disjoint union）によって与えられます。
半順序集合: 順序関係を射と見なした圏として扱うと、積は「最大下界」（交わり）に対応します。
全ての圏において、任意の対象の族に対する積が存在するとは限りません。例えば、空な添字集合に対応する積（空積）は圏の終対象ですが、無限群の圏のように終対象を持たない圏も存在します。
特定の添字集合Iで添字付けられた任意の対象族が圏Cで積を持つ場合、積を構成する操作はCIからCへの「積関手」として扱うことができます。この関手は、対象族だけでなく、族間の射にも作用し、射の族fi: Xi → Yi に対して、積 ∏i∈I Xi から積 ∏i∈I Yi への射を対応させます。この射は射族{fi ∘ πi}の積⟨fi ∘ πi : i ∈ I⟩として定義され、「射の直積」あるいは「デカルト積」と呼ばれます。
全ての有限集合で添字付けられた対象族が積を持つような圏は、「デカルト圏」と呼ばれることがあります（文脈によっては全ての有限極限を持つ圏を指す場合もあります）。
デカルト圏では、積は結合的であり、終対象1が存在するならば X × 1 ≃ X といった性質を満たします。また X × Y ≃ Y × X のような可換性も成り立ちます。これらの性質は、適切な同型を等式と見なせば、対象の積が可換モノイドのような構造をなすことを示唆しており、有限積を持つ圏は「対称モノイド圏」を構成します。
さらに、有限積と有限余積（積の双対概念）を両方持つ圏においては、自然な射 X × Y + X × Z → X ×(Y + Z) が存在します（+は余積）。この射が同型となる圏は「分配圏」と呼ばれ、積が余積に対して分配的である X × (Y + Z) ≃ (X × Y) + (X × Z) という性質が成り立ちます。
圏論における積は、余積や極限といった他の普遍構成と共に、圏の構造を理解する上で非常に基本的な構成要素です。
定義：普遍性による特徴づけ
ある圏Cにおいて、特定の対象X1とX2の「積」は、圏Cの対象であるX1 × X2と、そこからそれぞれの対象への二つの射影射π1: X1 × X2 → X1 および π2: X1 × X2 → X2 の組として定義されます。この組は以下の「積の普遍性」と呼ばれる条件を満たさなければなりません。
積の普遍性（二対象の場合）
任意の対象Yと、そこからX1への射f1: Y → X1、およびX2への射f2: Y → X2 が与えられたとします。このとき、対象Yから積X1 × X2へのただ一つの射f: Y → X1 × X2 が存在して、π1 ∘ f = f1 かつ π2 ∘ f = f2 という関係（図式の可換性）が成り立ちます。この一意的に定まる射fは、f1とf2の「射の積」と呼ばれ、⟨f1, f2⟩ と表記されることもあります。射π1, π2は「自然な射影」あるいは「標準射影」と呼ばれます。
この定義は、二つの対象に対するものですが、任意の添字集合Iで指定された対象の族{Xi}i∈I に対しても同様に積を定義できます。対象族の積Xは、対象Xと射影の族πi: X → Xi (i ∈ I) の組で、任意の対象Yと射族fi: Y → Xi (i ∈ I) に対し、一意的な射f: Y → X が存在し、任意のiについて πi ∘ f = fi となる普遍性を満たします。この積Xはしばしば ∏i∈I Xi と表記されます。Iが有限集合 {1, ..., n} の場合は、X1 × ⋯ × Xn と書かれ、射の積も⟨f1, ..., fn⟩のように表されます。
別の視点からの積
普遍性を図式で表現する代わりに、等式を用いて定義することも可能です。例えば二項の積の場合、一意的な射fの存在は演算⟨–, –⟩の存在で、図式の可換性は πi ∘ ⟨f1, f2⟩ = fi (i=1,2) という等式で、fの一意性は任意のfに対し ⟨π1 ∘ π2⟩ = f が成り立つことで保証されます。
また、積は「極限」の特別なケースとして捉えることもできます。極限の定義に現れる図式として、対象のみで恒等射以外の射を持たない「離散圏」を用いることで、積の定義が極限の定義と一致することが分かります。この場合、射族{fi}i∈Iは錐、射影は極限（極限錐）に相当します。
さらに、積は「普遍構成」の特別な場合でもあります。二つの対象を持つ離散圏Jを考えると、対象Xを対(X, X)に対応させる対角関手Δ: C → C × C を考えることができます。圏Cにおける積X1 × X2 は、この対角関手Δから圏C×Cの対象(X1, X2)への「普遍射」として与えられることが示されます。
具体的な例
圏論的な積の概念は、様々な圏において馴染みのある構造として現れます。
集合の圏 (Set): 対象の族Xiに対する積は、通常のデカルト積（集合の直積）∏i∈I Xi と、成分を取り出す写像としての自然な射影πj: ∏i∈I Xi → Xj (πj((xi)i∈I) = xj) の組です。
位相空間の圏: 対象の族に対する積は、台集合のデカルト積に、すべての射影を連続にする最も粗い位相（積位相）を入れた空間です。
加群の圏: ある環R上の加群の圏における積は、台集合のデカルト積に成分ごとの演算を入れた直積加群です。
群の圏: 積は、台集合のデカルト積に成分ごとの積を入れた直積群によって与えられます。
関係の圏 (Rel): この圏では、積は少し意外にも「非交和」（disjoint union）によって与えられます。
半順序集合: 順序関係を射と見なした圏として扱うと、積は「最大下界」（交わり）に対応します。
積の存在と性質
全ての圏において、任意の対象の族に対する積が存在するとは限りません。例えば、空な添字集合に対応する積（空積）は圏の終対象ですが、無限群の圏のように終対象を持たない圏も存在します。
特定の添字集合Iで添字付けられた任意の対象族が圏Cで積を持つ場合、積を構成する操作はCIからCへの「積関手」として扱うことができます。この関手は、対象族だけでなく、族間の射にも作用し、射の族fi: Xi → Yi に対して、積 ∏i∈I Xi から積 ∏i∈I Yi への射を対応させます。この射は射族{fi ∘ πi}の積⟨fi ∘ πi : i ∈ I⟩として定義され、「射の直積」あるいは「デカルト積」と呼ばれます。
全ての有限集合で添字付けられた対象族が積を持つような圏は、「デカルト圏」と呼ばれることがあります（文脈によっては全ての有限極限を持つ圏を指す場合もあります）。
デカルト圏では、積は結合的であり、終対象1が存在するならば X × 1 ≃ X といった性質を満たします。また X × Y ≃ Y × X のような可換性も成り立ちます。これらの性質は、適切な同型を等式と見なせば、対象の積が可換モノイドのような構造をなすことを示唆しており、有限積を持つ圏は「対称モノイド圏」を構成します。
さらに、有限積と有限余積（積の双対概念）を両方持つ圏においては、自然な射 X × Y + X × Z → X ×(Y + Z) が存在します（+は余積）。この射が同型となる圏は「分配圏」と呼ばれ、積が余積に対して分配的である X × (Y + Z) ≃ (X × Y) + (X × Z) という性質が成り立ちます。
圏論における積は、余積や極限といった他の普遍構成と共に、圏の構造を理解する上で非常に基本的な構成要素です。
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