符号理論

符号理論とは

符号理論は、情報を符号化し、通信の効率と信頼性を向上させるための情報学の基礎理論です。データ圧縮、暗号化、誤り訂正など、様々な技術に応用されており、情報理論、数学、計算機科学、遺伝学など、広範な分野で研究されています。

符号理論の目的

符号理論の主な目的は、以下の2つです。

情報源符号化: データ圧縮により、情報源の冗長性を削減し、効率的なデータ伝送を実現します。
通信路符号化: 誤り訂正符号を用いて、通信路におけるノイズや障害によるデータエラーを検出し、訂正します。

これらの目的を達成するために、符号理論では様々な数学的ツールやアルゴリズムが用いられます。例えば、グラフ理論や代数学、特に有限体理論、表現論などが重要な役割を果たします。近年では、量子もつれを利用した量子符号の研究も活発です。

符号の種類

符号理論では、主に以下の4種類の符号化が扱われます。

1. 情報源符号化 (Source Coding): データ圧縮技術。データをより効率的に送信するために、データサイズを削減します。例として、ZIP圧縮などがあります。
2. 通信路符号化 (Channel Coding): 誤り検出・訂正技術。通信路上のノイズなどによるエラーからデータを保護します。例として、音楽CDの傷や埃によるエラーを訂正するリード・ソロモン符号などがあります。
3. 暗号符号化 (Cryptographic Coding): 安全な通信を実現する技術。第三者からの盗聴や改ざんを防ぎます。
4. 伝送路符号化 (Line Coding): デジタル信号を物理的な伝送路に適した形式に変換する技術。

符号理論の歴史

符号理論の基礎は、1948年にクロード・シャノンが発表した論文「通信の数学的理論」に遡ります。この論文でシャノンは、情報エントロピーの概念を導入し、情報理論の分野を創設しました。その後、様々な誤り訂正符号が開発され、1968年にはリチャード・ハミングがチューリング賞を受賞しました。

情報源符号化の詳細

情報源符号化は、データの冗長性を除去し、情報量を削減することを目的としています。データを確率変数として捉え、アルファベットの文字列として符号化します。符号化の効率は、符号語の長さの期待値で評価されます。

定義

データは確率変数 \( X : \Omega \rightarrow \mathcal{X} \) として表現されます。
\( x \in \mathcal{X} \) は確率 \( \mathbb{P}[X=x] \) で現れます。
符号は関数 \( C : \mathcal{X} \rightarrow \Sigma^ \) （ \( \Sigma^ \) はアルファベット \( \Sigma \) の文字列）で表されます。
\( C(x) \) は \( x \) に対応する符号語です。
符号語の長さは \( l(C(x)) \) で表されます。
期待される符号の長さは \( l(C) = \sum_{x \in \mathcal{X}} l(C(x)) \mathbb{P}[X=x] \) で表されます。

特性

非特異性（単射）：異なるデータには異なる符号語が割り当てられる
一意復号可能性（単射）：符号語の列から元のデータを一意に復元できる
瞬時復号可能性：符号語の開始と終了が容易に特定できる

原理

情報源のエントロピーを最小化することを目指します。エントロピー符号化は、特定の確率モデルに従ってメッセージのエントロピーを最小化する手法です。

通信路符号化の詳細

通信路符号化は、通信路におけるノイズや障害によるエラーを検出・訂正し、データの信頼性を高めることを目的としています。符号の特性は、転送中に発生するエラーの確率に依存します。

代数的符号理論

符号の特性を代数学的に表現し研究する分野です。主に以下の2種類の符号を扱います。

線形ブロック符号: 符号語の線形結合も符号語となる符号。例：巡回符号、ハミング符号、リード・ソロモン符号、BCH符号など。
畳み込み符号: 入力シンボルの重み付き和として符号語を生成する符号。モデム、携帯電話、衛星通信などで使用されます。

符号の特性

符号語の長さ (n)
正しい符号語の総数
符号語間の最小ハミング距離 (dmin): 誤り訂正能力に影響

線形ブロック符号の特徴

線形ブロック符号は \( (n, m, d_{min}) \) で表されます。

n: 符号語の長さ
m: 一度に符号化されるシンボル数
dmin: 最小ハミング距離

畳み込み符号の特徴

畳み込み符号は、入力シンボル列の重み付き総和として符号語を生成します。デコードにはビタビアルゴリズムがよく使われます。

その他の符号化

暗号符号化：第三者からの盗聴や改ざんを防ぎ、安全な通信を実現する技術です。
伝送路符号化：デジタル信号を伝送路に適した形式に変換する技術です。

符号理論の応用

符号理論は、様々な分野で応用されています。

同期符号: 位相変移を検出・訂正し、複数の信号を同時に送信するための符号。CDMA符号など。
* 自動再送制御 (ARQ) 符号: メッセージにパリティビットを付与し、エラーを検出した場合に再送を要求する符号。

まとめ

符号理論は、情報通信の根幹をなす重要な分野です。効率的なデータ伝送や信頼性の高い通信を実現するために、様々な符号化技術が開発され、実用化されています。今後も、より高速で信頼性の高い情報通信を実現するために、符号理論の研究開発が継続されるでしょう。

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