等方二次形式

等方二次形式とは

数学における二次形式の中でも、特別な性質を持つものが等方二次形式です。これは、ある種の非零ベクトルにその二次形式を適用した際に、値がゼロになる性質を持つものを指します。このようなベクトルは「等方ベクトル」、あるいは「ヌルベクトル」とも呼ばれます。

定義と関連概念

体F上のベクトル空間Vで定義された二次形式qを考えます。非零ベクトルv∈Vが「qに関して等方的」であるとは、q(v) = 0 を満たす場合に言います。零ベクトルも広義には等方ベクトルと見なせますが、通常は非零の場合を指します。二次形式qそのものが「等方的」であるとは、このような非零の等方ベクトルが少なくとも一つ存在することを意味します。等方的な二次形式を持たないものは、「非等方的」と呼ばれます。

二次空間 (V, q) の部分空間Wについて考えます。

W内に等方ベクトルが存在する場合、Wは「等方部分空間」と呼ばれます。
W内の全てのベクトルが等方ベクトルである場合、Wは「完全等方部分空間」と呼ばれます。
「非等方部分空間」は、非零の等方ベクトルを一切含まない部分空間を指します。

二次空間の「等方性指数」とは、その空間内に存在する完全等方部分空間のうち、最も次元が高いものの次元のことです。

特に、実数体上の有限次元ベクトル空間における二次形式が非等方的であることと、その二次形式が常に正の値をとるか（正定値）、または常に負の値をとるか（負定値）、という「定符号」であることは同値な条件です。一般に、非退化な二次形式が符号数(a, b)を持つ場合、その等方性指数は min(a, b) に等しくなります。

特殊な例：双曲型平面

二次形式論において、「双曲型平面」と呼ばれる特別な等方二次空間が存在します。（これは双曲幾何学における平面とは異なる概念です。）体F上の2次元ベクトル空間Vにおいて、二次形式 q(x,y) = xy や r(x,y) = x² - y² は互いに線型変換で移り合うため同値であり、どちらも等方的です。これらによって定まる二次空間が双曲型平面です。例えば実数体上では、q(x,y)=c（非零定数）や r(x,y)=c は双曲線を表します。特にr(x,y)=1は単位双曲線として知られています。

分解型二次空間

二次空間 (V, q) が「分解型」あるいは「メタボリック」と呼ばれるのは、自身の直交補空間（二次形式qに関して直交するベクトルのなす空間）と一致するような部分空間を持つ場合です。これは、その二次空間の等方性指数が空間全体の次元のちょうど半分に等しいことと同義です。双曲型平面は分解型二次空間の典型的な例であり、標数が2でない任意の体上では、分解型二次空間はいくつかの双曲型平面の直和として表現できます。

二次形式の分類における重要性

二次形式を分類する際、非等方空間は基本的な構成要素となります。一般的な体上で非等方二次形式を完全に分類することは容易ではありません。しかし、等方二次形式は一般に扱いが比較的容易です。ヴィットの分解定理として知られる重要な定理は、任意の二次空間が、ある分解型空間とある非等方空間の「直交直和」として一意的に分解できることを示しています。この定理は、二次形式論における等方空間と非等方空間の役割の重要性を確立しています。

特定の体における結果

特定の体上では、等方二次形式の存在に関して次のような結果が知られています。

代数閉体（例：複素数体 C）上では、次元が2以上の二次空間は常に等方的です。
有限体上では、二次空間の次元が3以上であれば、常に等方的です。
p-進数体 Qp 上では、二次空間が5次元以上であれば、常に等方的です。

等方性は、二次形式の性質を理解し、分類するための鍵となる概念であり、様々な代数的な構造と関連しています。

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