等長写像

等長写像：距離を保つ変換

数学、特に幾何学において、等長写像とは図形の形や大きさを変えずに移動させる写像のことです。より正確には、写像によって点間の距離が変化しない写像を指します。地図を例に考えてみましょう。地球儀上の二地点間の距離を、平面上の地図上の距離に変換する写像を考えます。この写像が等長写像であれば、地球儀上の二地点間の実際の距離と地図上の距離は比例関係にあり、地図上で測った距離から実際の距離を正確に推定できます。しかし、地球儀を平面に投影する際には、どうしても歪みが生じ、等長写像にはなりません。

等長写像の定義

距離空間XとYにおいて、Xの任意の二点間の距離と、それら二点を写像fでYに移した後の二点間の距離が等しいとき、写像fを等長写像と呼びます。数式で表すと、Xの任意の二点x, yに対し、

`d(x, y) = d'(f(x), f(y))`

が成り立ちます。ここで、dとd'はそれぞれXとYにおける距離関数です。等長写像は必ず単射（一対一写像）であることが定義からすぐに分かります。なぜなら、もし異なる二点x, yが同じ点に写像されるとすると、`d(x,y) > 0`であるのに対し、`d'(f(x),f(y)) = d'(f(x),f(x)) = 0`となり、距離が保存されないからです。

さらに、等長写像が全射（全域写像）である場合、その写像は「等長同型写像 (isometry)」と呼ばれます。これは、二つの距離空間が幾何学的に全く同じであることを意味します。例えば、二つの正方形は等長同型写像で結びつけることができます。一方、正方形と円は等長同型写像で結びつけることはできません。

ノルム空間における等長写像

ノルム空間においては、等長写像はノルム（ベクトルの長さ）を保存する写像として定義されます。ベクトル空間Xにおけるノルムを||·||Xで表すとき、写像f: X → X'が等長写像である条件は、

`||x - y||X = ||f(x) - f(y)||X'`

となります。特に、fが線形写像であれば、これは`||x||X = ||f(x)||X'`と同値です。

計量と合同、相似

ノルム空間における等長写像は、図形の合同や相似という幾何学的概念と密接に関連しています。二つの図形が合同であるとは、一方を他方に重ね合わせることができることを意味します。これは、ある等長写像が存在し、一方の図形を他方の図形に写像できることを意味します。相似については、ある正の数kが存在し、一方の図形をk倍拡大（縮小）したものが他方の図形に合同であることを意味します。

直交変換とユニタリ変換

等長写像の中でも特に重要なのは、線形等長写像です。実ベクトル空間では、線形等長写像は直交変換に対応し、直交行列で表現できます。複素ベクトル空間では、線形等長写像はユニタリ変換に対応し、ユニタリ行列で表現できます。直交変換やユニタリ変換は、ベクトルの長さを変えずに回転や鏡映などの変換を行う写像です。

一般的な等長写像とユークリッドの運動

実ベクトル空間における一般的な等長写像は、直交変換と平行移動の合成として表現できます。具体的には、直交行列Tとベクトルaを用いて、Tx + aと表されます。このうち、|T| = 1であるものを特にユークリッドの運動と呼びます。これは回転と平行移動の合成で表せる変換です。

リーマン多様体上の等長写像

等長写像の概念は、ユークリッド空間だけでなく、より一般的なリーマン多様体にも拡張できます。リーマン多様体上の等長写像は、多様体の幾何学的構造を保存する写像であり、その全体は群をなします。

まとめ

等長写像は、距離やノルムを保つ写像として定義され、幾何学において図形の合同や相似といった重要な概念と深く関わっています。また、直交変換やユニタリ変換といった線形等長写像は、線形代数において重要な役割を果たします。さらに、リーマン多様体への拡張は、微分幾何学における重要な研究対象となっています。

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