約数関数

約数関数について

約数関数（やくすうかんすう）とは、自然数を引数とし、その数の約数に関する特性を示す関数です。この関数は、ある自然数 n に対し、n のすべての約数 d を使って計算されます。具体的には、d の x 乗の合計を求めることで表現されます。関数の定義は次の通りです。

定義

自然数 n に対する約数関数 σx(n) は、次のように定義されます：

$$
σ_{x}(n) = extstyle ext{∑}_{d|n}d^{x}
$$

ここで、d は n の[約数]]です。特に、x が 0 の場合、σ0(n) は n の約数の個数を示し、一般に d(n) または τ(n) と表記されることがあります。また、x が 1 の場合、σ1] は n の[[約数の総和を表し、単に σ(n) とすることもあります。さらに、約数関数の k 階反復は、次のように記述されます。

$$
σ_{x}^{k}(n) := extstyle ext{σ}_{x}( ext{σ}_{x}( ext{...} (n) ext{...}))
$$

このように、関数の次元を反復することが可能です。そのため、例として σ[2] は σ[1] を再びσ[1]]関数に適用することで得られ、同様にして σ3] も定義されます。通常、k = [[1 および x = 1 の場合は省略されることが一般的です。

概要

[約数]]関数の値は、自然数の約数に関するさまざまな側面を示します。たとえば、σ0(n) の最初のいくつかの値は次の通りです：1, 2, 2, 3, 2, 4, 2 などです。また、σ1] の一部の値は [1, 3, 4, 7, 6, 12 などが得られ、これらはオンライン整数列大辞典に登録されています。さらに、σ2] の初期値は [[1, 5, 10 などです。

計算例

たとえば、n = 15 の場合、次のように計算されます：

• - d(15'>[1]]5) = σ0(15) = 4
• - σ(15) = σ1] = 5'>[2]]4
• - σ2] = [[260

特徴

素数 p の約数は 1 と p の 2 つだけであるため、d(p) = 2 及び σ(p) = p + 1 という特性があります。また、自然数 n に対して、pn の約数は 1, p, p2, …, pn の n + 1 個ですので、d(pn) = n + 1 であり、σ(pn) = (pn+1 - 1) / (p - 1) という関係が成り立ちます。

さらに、d(n)およびσ(n)はn=1で最小値1を得ます。d(n) = n の解は n = 1, 2 のみ、σ(n) = n および d(n) = σ(n) の解は n = 1 のみです。n ≥ 3 の場合、常に 2 ≤ d(n) < n < σ(n) であることが示されます。

公式と性質

約数関数は乗法的性質を持つが、完全乗法的ではありません。すなわち、gcd(a,b) = 1 の場合、σx(ab) = σx(a)σx(b) が成り立ちます。

n を素因数分解して次の形で表すことができます：
$$
n = extstyle ext{∏}_{i=1}^{r}p_{i}^{a_{i}}
n$$
ここで、r は n の素因子の個数です。これにより、次のような σx(n) の式が導かれます：
$$
σ_{x}(n) = extstyle ext{∏}_{i=1}^{r}rac{p_{i}^{(a_{i}+1)x} - 1}{p_{i}^{x} - 1} ext{（x ≠ 0の場合）}}
$$

その他の興味深い公式

オイラーは約数関数に対して多くの重要な性質を示し、その一つに次の公式があります：
$$
σ_{1}(n) = extstyle σ_{1}(n-1) + σ_{1}(n-2) - σ_{1}(n-5) - σ_{1}(n-7) + σ_{1}(n-12) + σ_{1}(n-15) - ...
$$

約数関数の値

x=0から21についてのσx(n)の値は、オンライン整数列大辞典で確認できます。約数関数に関するさまざまな性質や理論が取り組まれており、未解決の問題も多く存在します。たとえば、特定の範囲で不足数、完全数、過剰数といった数の分類に関する問題があります。これらの分類によって、数の特性を深く理解する手助けとなります。

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