結び目群

結び目と結び目群

数学の中で、結び目とは、1次元の円周が3次元ユークリッド空間に埋め込まれた状態を指します。特に、結び目 K に対する「結び目群」とは、結び目 K の補空間に対応する基本群を指し、記号で表すと次のようになります。

\[
\pi_{1}(\mathbb{R}^{3}\setminus K)
\]

この定義により、結び目とその空間における性質についての深い理解が促進されます。また、結び目を3次元の球面 S3 に埋め込んで考えることも可能で、その際には、S3 における結び目の補空間の基本群として結び目群が定義されます。

結び目群の性質

2つの同じ形をした結び目は、同型な結び目群を持ちます。これは結び目群が結び目に関連する不変量であることを示しており、同値でない結び目のペアを区別するために利用されます。具体的には、2つの結び目が同じであるということは、恒等写像に対してアイソトピックであり、1つの結び目を別の結び目に写す自己同相写像が存在します。このような同相写像は結び目補空間に制限することで、基本群の同型を導きます。

ただし、同型な結び目群を持つ同値でない結び目も存在するため、注意が必要です。さらに、結び目群をアーベル化した結果は、常に無限巡回群 Z に等しいという性質があります。これはアーベル化が1次ホモロジー群に一致しているためです。

結び目群は、一般的に、ヴィルテンガー表示（Wirtinger presentation）を利用することで計算が行いやすいです。これは、結び目群を比較的単純なアルゴリズムで求めることができることも意味します。

具体的な例

自明な結び目は、結び目群が整数 Z と同型です。三葉結び目の場合、その結び目群はブレイド群 B3 と同型で、以下のような群の表示を持ちます。

\[
⟨x,y ∣ x^{2}=y^{3}⟩
\]

または、

\[
⟨a,b ∣ aba=bab⟩ .
\]

(p,q)-トーラス結び目の結び目群は、次のように表現されます。

\[
⟨x,y ∣ x^{p}=y^{q}⟩ .
\]

8の字結び目の結び目群は、次の表示を持ちます。

\[
⟨x,y ∣ yxy^{-1}xy=xyx^{-1}yx⟩ .
\]

興味深いことに、二重結びと縦結びは同型な結び目群を持ちながらも、これらの結び目は同値ではありません。これにより、結び目群が持つ特性がいかに重要であるかが示されています。

関連項目

• - 複雑な絡みを扱う絡み目群 (Link group) も、結び目の理解において重要な役割を果たします。

参考文献

• - 「Knot and Link Groups」, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104

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