総実体

総実の代数体について

数論の分野において、代数体 K が「総実」であるという概念は非常に重要です。この用語は、K の複素数体へのあらゆる埋め込みについて、その像が常に実数体に含まれる場合を指します。これは、代数体の性質を理解する上での基本的な条件の一つです。

代数体 K が総実であることの同値条件の一つに、すべての根が実数である整数多項式を持つことがあります。この整数多項式の一つの根によって K が有理数体 Q 上で生成されるとの関係があります。さらに言えば、K を Q と実数体 R とのテンソル積を取ることによって得られる代数は、R のコピーの直積を成すことも条件の一つです。

具体的に見てみましょう。例えば、Q 上の二次体 K の場合、どのような数の平方根が Q に追加されるかにより、K は実数体の部分体となることもあれば、虚数を含む体になることもあります。フラグとして、K が正の平方根を含むとき、これは実数体の部分体となり、したがって総実であるとされます。一方、負の平方根を含む場合、これは実数体に虚数を加えた形となり、総実ではなくなります。

次に三次体に目を向けると、Q 上の不変な三次整数多項式 P は少なくとも一つの実根を持つという定理があります。この P が一つの実根と二つの虚根を持つ場合、その実根を追加することによって定義される Q の三次拡大は、実数体の部分体になるにもかかわらず、総実とは言えません。このように、代数体の構成によって総実性が変わることがあります。

総実の代数体は、代数的整数論において特有の重要性を持ちます。有理数体 Q のアーベル拡大は、常に総実であるか、または総実な部分体を含む、この部分体の上で二次的な拡大を持つことから、総実性が代数の性質に深く関与しています。

また、有理数体上で定義された任意のガロワ数体は、総実あるいは総虚でなければならないという制約にも注目すべきです。

このように、代数体の性質やその埋め込みがもたらすさまざまな構造を理解することは、数論の発展に寄与する重要な要素となります。ひいては、総実体についての知見は他の関連分野、特に複素解析や整数論にも影響を与えます。

関連項目

• - 総虚体
• - CM体、総実体の総虚な二次拡大

参考文献

• - Hida, Haruzo (1993). Elementary theory of L-functions and Eisenstein series, London Mathematical Society Student Texts, 26, Cambridge University Press.

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