二次体

二次体の概要

二次体（にじたい）とは、数論において有理数体上の代数体の一つで、特に2次の拡大を指します。これは平方因子を持たない整数 d を用いて、

\[ K = \mathbb{Q}(\sqrt{d}) \]

という形で表現されます。ここで、d が正の場合は実二次体、負の場合は虚二次体と区別されます。

二次体の特性

二次体は一般にガロア拡大体であり、ガロア群は巡回群を形成します。特定の整数 d に対して、その整数環がノルムユークリッド整域や一意分解整域となる条件が存在します。例えば、整数環がノルムユークリッド整域である二次体は、d が -11, -7, -3, -2, -1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73 の場合に限られます。一方、整数環が一意分解整域となる虚二次体は、d が -1, -2, -3, -7, -11, -19, -43, -67, -163 である必要があります。

有理素数の分解

任意の二次体 K において、有理素数 p は次のように分解される可能性があります：
1. 完全分解される場合：\( (p) = \mathfrak{p}_1 \mathfrak{p}_2 \)
2. 不分解の場合：\( (p) = \mathfrak{p}^2 \)
3. 不分岐の場合：\( (p) \) が K の素イデアルである場合。

判別式の役割

二次体 \( K = \mathbb{Q}(\sqrt{d}) \) の判別式 D は、次のように定義されます：

• - d が 1 (mod 4) のときは D = d
• - d が 2 または 3 (mod 4) のときは D = 4d

この判別式は、整数の整基底の選定に重要です。

単数群と基本単数

二次体 K の単数群 \( E_K \) の構造も興味深いです。d が -1 の場合、単数群は {±1, ±i} となり、d が -3 の場合は {±1, ±ω, ±ω²} （ここで ω = (−1 + √−3)/2）となります。d が 0 より大きい場合は、\( E_K = \{ \pm \varepsilon_0^n | n = 0, ±1, ±2, ... \} \) となります。

二次体と円分体

任意の二次体 K は、特定の整数 n に対して、円分体に含まれると示すことができます。この性質は、クロネッカー＝ウェーバーの定理に由来し、特に n が偶数の場合は、いくつかの特異な性質を持っています。

初等整数論との関連

二次体は初等整数論と密接に関わっています。具体的には、平方剰余の相互法則が成り立ち、素数の分解やその特性が示されることができます。この理論は、平方因子に関する様々な法則を探求する基礎となります。

類数とディリクレの類数公式

さらに、二次体の類数に関連する重要な理論として、ディリクレの類数公式があります。この公式は、二次体 K の判別式 D とその類数 h_K の間の関係を記述しています。この関係は、ゼータ関数との密接な関係を示し、解析的手法とも融合しています。

ガウスの予想

ガウスは、二次形式の類に関するいくつかの予想を行っており、班数や構造に関する洞察が得られています。例えば、類数が1の二次体や類数に関連する問題は今日まで研究されています。

まとめ

二次体は、数論における重要な対象であり、その特性や類数、初等整数論との関係性は多くの数学的探究の焦点となっています。また、これに基づく理論は、代数体や円分体など他の数学的フィールドとの相互作用に重要な役割を果たします。

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