線型包

線型包：ベクトル空間を理解する鍵

線型代数学、そしてより広範な関数解析学において、線型包（linear span）は重要な概念です。これは、ベクトル空間内の特定のベクトルの集合から生成される最小の部分空間を指します。言い換えれば、その集合を含む全ての線型部分空間の共通部分、つまりその集合を含む最も小さな部分空間と言えるでしょう。

線型包の定義

体K上のベクトル空間Vの部分集合Sに対し、Sの線型包⟨S⟩は、Sに属するベクトルの全ての線型結合からなる集合として定義されます。これは以下の3つの条件と同値です。

1. ⟨S⟩はSのベクトルによる線型結合全体の集合である。
2. ⟨S⟩はSを含むVの全ての部分空間の交わりである。
3. ⟨S⟩はSを含むVの最小の部分空間である。

Sが有限集合{v₁, v₂, ..., vᵣ}である場合、線型包は以下のように表記されます。

`span(v₁, ..., vᵣ) = ⟨v₁, ..., vᵣ⟩ₖ = L(v₁, ..., vᵣ)`

ここで、Kは係数の体です。線型結合の定義を詳しく書くと、以下のようになります。

`⟨S⟩ = {∑ᵢ₌₁ⁿ αᵢvᵢ | αᵢ∈K, vᵢ∈S, n∈N}`

これは、Sのベクトルを係数αᵢで重み付けし、それらを足し合わせた全てのベクトルからなる集合という意味です。特に、Sが有限集合{v₁, v₂, ..., vᵣ}の場合、

`⟨v₁, v₂, ..., vᵣ⟩ = {α₁v₁ + α₂v₂ + ... + αᵣvᵣ | α₁, α₂, ..., αᵣ∈K}`

と簡略化できます。

線型包の例

R²における単一ベクトル: R²内の原点を通らないベクトルaの線型包⟨a⟩は、原点を通るaに平行な直線になります。
R³の生成系: R³は{(2, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}を生成系に持ちます。これは基底でもあります。(2, 0, 0)を(1, 0, 0)に置き換えれば、R³の標準基底となります。{(1, 2, 3), (0, 1, 2), (-1, 1/2, 3), (1, 1, 1)}も生成系ですが、線型従属なので基底ではありません。{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0)}は生成系ではなく、xy平面を生成します。
* 形式冪級数: 体K上の形式冪級数全体の成すベクトル空間KXにおいて、多項式集合A = {xᵏ | k∈N}の線型包⟨A⟩は、多項式全体の成す部分空間K[X]に一致します。

線型包の性質

線型包には以下の重要な性質があります。

1. `A ⊆ ⟨A⟩`：集合Aは常に自身の線型包の部分集合です。
2. `A ⊆ B ⇒ ⟨A⟩ ⊆ ⟨B⟩`：AがBの部分集合であれば、Aの線型包はBの線型包の部分集合です。
3. `⟨A⟩ = ⟨⟨A⟩⟩`：線型包をとる操作は冪等です。
4. 線型包は部分空間を生成する。
5. 任意の部分空間Uに対して、⟨U⟩ = U が成り立ちます。
6. 二つの部分空間UとVの和空間U + V = {u + v | u∈U, v∈V}は、UとVの合併の線型包に等しく、U + V = ⟨U∪V⟩となります。
7. 部分集合の族Tにおいて、「合併の線型包」と「交差の線型包」は束構造を形成します。
8. 二つの部分空間U, Vに対し、dim(U + V) + dim(U ∩ V) = dim(U) + dim(V) が成立します。

基底と線型包

ベクトル空間Vを張る任意の生成系Sは、Vの任意の線型独立系と少なくとも同じ数のベクトルを含みます。有限次元ベクトル空間Vを張る任意の生成系は、線型従属なベクトルを取り除くことで基底になります。これは、基底がVの最小生成系であることを意味します。

位相的線型包

関数解析学では、閉線型包（位相的線型包）という概念が重要になります。これは、集合を含む最小の閉部分空間です。ノルム線型空間Xの部分集合Eに対して、Eの閉線型包は、Eを含むXの全ての閉部分空間の交わりに等しく、span(E)の閉包と一致します。

`overline{span}(E) = {u∈X | ∀ε>0, ∃x∈span(E), ||x-u||<ε}`

これは、span(E)内の任意のベクトルにいくらでも近づくことができるベクトル全体の集合を意味します。

重要な補題として、閉線型包overline{span}(E)はEを含むXの閉線型部分空間であり、overline{span}(E) = overline{span(E)}が成り立ちます。つまり、閉線型包は線型包の閉包と一致します。

閉線型包は、閉部分空間を扱う上で極めて重要です。閉部分空間は、リースの補題などを通じて、関数解析学における様々な定理の証明において中心的な役割を果たします。閉線型包を求めるには、まず線型包を求めてからその閉包を求めるのが一般的です。

もう一度検索