線型部分空間

線型部分空間：ベクトル空間の特殊な部分集合

線型代数学において、線型部分空間（または部分ベクトル空間）は、ベクトル空間の一部でありながら、それ自体が独立したベクトル空間となる特別な集合です。元のベクトル空間と同じ演算（ベクトルの加算とスカラー倍）を用いて閉じている、つまり、部分集合内の任意の2つのベクトルの和や、任意のスカラー倍が、再びその部分集合に含まれる必要があります。

定義の厳密化:

体K上のベクトル空間Lの部分集合Sが、以下の2つの条件を満たす場合、SはLの線型部分空間と呼ばれます。

1. 加法に関する閉じ性: 任意のベクトルa, b ∈ Sに対して、それらの和a + bもSに含まれる (a + b ∈ S)。
2. スカラー倍に関する閉じ性: 任意のベクトルa ∈ Sと任意のスカラーα∈ Kに対して、スカラー倍αaもSに含まれる (αa ∈ S)。

重要な点として、部分集合が独自の演算系を持っているとしても、それが元のベクトル空間の演算と異なる場合は、線型部分空間とはみなされません。また、文脈によっては「線型」を省略して単に「部分空間」と呼ばれることもあります。

具体例:

自明な部分空間: ベクトル空間V自身と、零ベクトルのみを含む集合{0}は、常にVの部分空間となります。これらは自明な部分空間と呼ばれます。
1次元部分空間: K上のベクトル空間Vの任意のベクトルvに対して、集合Kv = {av | a ∈ K}はVの線型部分空間です。これは、vを生成元とする1次元部分空間であり、v方向の直線を表します。
RnやCnにおける例: R^nやC^nにおいて、原点を通る直線、平面、超平面は全て線型部分空間です。しかし、原点を通らない直線や平面などは線型部分空間ではありません。これらはアフィン部分空間と呼ばれ、線型部分空間と密接な関係を持っています。アフィン部分空間は、ある線型部分空間を平行移動させたものと考えることができます。

線型部分空間の性質:

ベクトル空間Vの2つの線型部分空間UとWについて、以下の集合もまたVの線型部分空間となります。

和空間: U + W = {u + w | u ∈ U, w ∈ W}
* 共通部分: U ∩ W = {v | v ∈ U かつ v ∈ W}

さらに、線型写像f: V → V' を考えると、Vの任意の線型部分空間Wに対して、その像f(W) = {f(w) | w ∈ W}はV' の線型部分空間となり、V' の任意の線型部分空間W' に対して、その逆像f⁻¹(W') = {v ∈ V | f(v) ∈ W'}はVの線型部分空間となります。特に、線型写像の像Im f = f(V)と核Ker f = f⁻¹({0'})はそれぞれV'とVの線型部分空間です。

関連概念:

線型部分空間の概念は、ベクトル空間、アフィン空間といった幾何学的な概念と深く関わっています。アフィン空間は線型部分空間を平行移動した概念として理解できます。また、代数系というより広い数学的枠組みの中でも、線型部分空間は重要な役割を担っています。

まとめ:

線型部分空間は、ベクトル空間をより細かく理解するために不可欠な概念です。その定義、性質、そして関連する概念を理解することで、線型代数学のより深い理解へとつながります。本稿では、線型部分空間の定義と基本的な性質、そして関連する概念について解説しました。より高度なトピックについては、関連文献を参照ください。

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