線形力学系
物事の状態が時間と共にどのように変化するかを記述する数学的な枠組みを「力学系」と呼びます。その中でも、状態の変化が現在の状態に線形的に依存するものを「線形力学系」と定義します。この線形力学系は、その構造を行列によって簡潔に表現できるという特徴を持ちます。
線形力学系は、状態を表すベクトルと、その時間的な変化を決定する正方行列Aを用いて数学的に記述されます。
時間が連続的に流れる場合、状態ベクトル $\mathbf{x}(t)$ の時間に関する変化率、すなわち微分は、現在の状態ベクトル $\mathbf{x}(t)$ に行列Aを作用させたものとして表されます。これは以下の微分方程式で表現されます。
$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathbf{x}(t) = A\mathbf{x}(t) $$
一方、時間が飛び飛びに進む場合（離散時間系）、次の時刻における状態ベクトル $\mathbf{x}_{m+1}$ は、現在の状態ベクトル $\mathbf{x}_m$ に行列Aを作用させることで得られます。これは以下の差分方程式で記述されます。
$$ \mathbf{x}_{m+1} = A\mathbf{x}_{m} $$
「線形」であるという性質は、線形力学系を特徴づける最も重要な点です。これは、もし二つの異なる状態の経路 $\mathbf{x}(t)$ と $\mathbf{y}(t)$ がそれぞれこの系の解であるならば、それらを任意のスカラー $a$ および $b$ を用いて線形に組み合わせた状態 $a\mathbf{x}(t) + b\mathbf{y}(t)$ もまた、同じ系の解となることを意味します。この重ね合わせの原理は、線形力学系の解析を容易にしています。
線形力学系は、多くの非線形力学系とは異なり、その解を数学的に完全に求めることが可能です。
連続時間系の場合、初期状態 $\mathbf{x}(0) = \mathbf{x}_0$ から出発する解は、初期状態に行列の指数関数 $e^{tA}$ を作用させることで得られます。すなわち、$\mathbf{x}(t) = e^{tA}\mathbf{x}_0$ となります。ここで、行列の指数関数 $e^{tA}$ は無限級数として定義されます。
この解の具体的な形や時間経過に伴う振る舞いを理解するためには、行列Aの固有値と固有ベクトルが鍵となります。もし初期状態が固有ベクトル $\mathbf{v}_k$ であるならば、その後の状態は $\mathbf{x}(t) = \mathbf{v}_k e^{\lambda_k t}$ という単純な指数関数的な変化となります。ここで $\lambda_k$ は対応する固有値です。
行列Aが対角化可能であれば、任意の初期状態を固有ベクトルの線形結合として表現できます。この場合、系の全体の解は、個々の固有ベクトルに対応する解を重ね合わせたもの、つまり $\mathbf{x}(t) = \sum a_k \mathbf{v}_k e^{\lambda_k t}$ の形で表されます。対角化不可能であっても、行列指数関数を用いることで一般解が得られます。
線形力学系は、より複雑な非線形力学系を理解するための重要なツールでもあります。非線形系の中には、適切な変数変換によって線形系に帰着させられるものがあります。また、非線形系の平衡点（状態が時間的に変化しない点）の近傍では、系を線形近似することで、その局所的な振る舞いを線形力学系の解析手法を用いて調べることができます。この手法の妥当性は、ハートマン＝グロブマンの定理などによって裏付けられています。
特に状態空間が二次元である線形力学系では、原点にある平衡点 $(0,0)$ 周りの解軌道のパターンを行列Aの固有値の性質に基づいて詳細に分類することが可能です。この分類は、行列Aのトレース（対角成分の和 $\tau = \lambda_1 + \lambda_2$）と行列式（$\Delta = \lambda_1 \lambda_2$）を用いると系統的に行えます。固有値 $\lambda_{1,2}$ は $\lambda = (\tau \pm \sqrt{\tau^2 - 4\Delta})/2$ で求められます。
$\Delta < 0$ の場合、固有値は実数で符号が異なり、平衡点は鞍点 (saddle point) となります。安定方向と不安定方向が存在します。
$\Delta = 0$ の場合、少なくとも一つの固有値がゼロとなり、原点は孤立した平衡点ではなくなります。
$\Delta > 0$ の場合、固有値の実部は同じ符号を持ちます。
$\tau < 0$ ならば、実部が負となり漸近安定な節点 (node) または渦状点 (spiral) となります。
$\tau = 0$ ならば、固有値は純虚数となり、中立安定な中心点 (center) または渦状点 (spiral) となります（二次元系では $\tau=0, \Delta>0$ の場合、固有値が純虚数となり中心点となります）。
$\tau > 0$ ならば、実部が正となり不安定な節点 (node) または渦状点 (spiral) となります。
固有値が実数であれば節点、複素数であれば渦状点となります。ただし、固有値が重複し、かつ対角化不可能な場合は、退化節点と呼ばれる特殊なパターンを示します。
このように、線形力学系は数学的に解析が容易であり、より複雑な系の理解にも繋がる基本的な概念です。
定義とその形式
線形力学系は、状態を表すベクトルと、その時間的な変化を決定する正方行列Aを用いて数学的に記述されます。
時間が連続的に流れる場合、状態ベクトル $\mathbf{x}(t)$ の時間に関する変化率、すなわち微分は、現在の状態ベクトル $\mathbf{x}(t)$ に行列Aを作用させたものとして表されます。これは以下の微分方程式で表現されます。
$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathbf{x}(t) = A\mathbf{x}(t) $$
一方、時間が飛び飛びに進む場合（離散時間系）、次の時刻における状態ベクトル $\mathbf{x}_{m+1}$ は、現在の状態ベクトル $\mathbf{x}_m$ に行列Aを作用させることで得られます。これは以下の差分方程式で記述されます。
$$ \mathbf{x}_{m+1} = A\mathbf{x}_{m} $$
線形性の本質
「線形」であるという性質は、線形力学系を特徴づける最も重要な点です。これは、もし二つの異なる状態の経路 $\mathbf{x}(t)$ と $\mathbf{y}(t)$ がそれぞれこの系の解であるならば、それらを任意のスカラー $a$ および $b$ を用いて線形に組み合わせた状態 $a\mathbf{x}(t) + b\mathbf{y}(t)$ もまた、同じ系の解となることを意味します。この重ね合わせの原理は、線形力学系の解析を容易にしています。
解の導出と振る舞い
線形力学系は、多くの非線形力学系とは異なり、その解を数学的に完全に求めることが可能です。
連続時間系の場合、初期状態 $\mathbf{x}(0) = \mathbf{x}_0$ から出発する解は、初期状態に行列の指数関数 $e^{tA}$ を作用させることで得られます。すなわち、$\mathbf{x}(t) = e^{tA}\mathbf{x}_0$ となります。ここで、行列の指数関数 $e^{tA}$ は無限級数として定義されます。
この解の具体的な形や時間経過に伴う振る舞いを理解するためには、行列Aの固有値と固有ベクトルが鍵となります。もし初期状態が固有ベクトル $\mathbf{v}_k$ であるならば、その後の状態は $\mathbf{x}(t) = \mathbf{v}_k e^{\lambda_k t}$ という単純な指数関数的な変化となります。ここで $\lambda_k$ は対応する固有値です。
行列Aが対角化可能であれば、任意の初期状態を固有ベクトルの線形結合として表現できます。この場合、系の全体の解は、個々の固有ベクトルに対応する解を重ね合わせたもの、つまり $\mathbf{x}(t) = \sum a_k \mathbf{v}_k e^{\lambda_k t}$ の形で表されます。対角化不可能であっても、行列指数関数を用いることで一般解が得られます。
非線形系との関連
線形力学系は、より複雑な非線形力学系を理解するための重要なツールでもあります。非線形系の中には、適切な変数変換によって線形系に帰着させられるものがあります。また、非線形系の平衡点（状態が時間的に変化しない点）の近傍では、系を線形近似することで、その局所的な振る舞いを線形力学系の解析手法を用いて調べることができます。この手法の妥当性は、ハートマン＝グロブマンの定理などによって裏付けられています。
二次元系における平衡点の分類
特に状態空間が二次元である線形力学系では、原点にある平衡点 $(0,0)$ 周りの解軌道のパターンを行列Aの固有値の性質に基づいて詳細に分類することが可能です。この分類は、行列Aのトレース（対角成分の和 $\tau = \lambda_1 + \lambda_2$）と行列式（$\Delta = \lambda_1 \lambda_2$）を用いると系統的に行えます。固有値 $\lambda_{1,2}$ は $\lambda = (\tau \pm \sqrt{\tau^2 - 4\Delta})/2$ で求められます。
$\Delta < 0$ の場合、固有値は実数で符号が異なり、平衡点は鞍点 (saddle point) となります。安定方向と不安定方向が存在します。
$\Delta = 0$ の場合、少なくとも一つの固有値がゼロとなり、原点は孤立した平衡点ではなくなります。
$\Delta > 0$ の場合、固有値の実部は同じ符号を持ちます。
$\tau < 0$ ならば、実部が負となり漸近安定な節点 (node) または渦状点 (spiral) となります。
$\tau = 0$ ならば、固有値は純虚数となり、中立安定な中心点 (center) または渦状点 (spiral) となります（二次元系では $\tau=0, \Delta>0$ の場合、固有値が純虚数となり中心点となります）。
$\tau > 0$ ならば、実部が正となり不安定な節点 (node) または渦状点 (spiral) となります。
固有値が実数であれば節点、複素数であれば渦状点となります。ただし、固有値が重複し、かつ対角化不可能な場合は、退化節点と呼ばれる特殊なパターンを示します。
このように、線形力学系は数学的に解析が容易であり、より複雑な系の理解にも繋がる基本的な概念です。
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