縮小写像

縮小写像（しゅくしょうしゃぞう）

数学、特に解析学や位相空間論において、「縮小写像」とは、距離空間上で定義される特定の性質を持つ写像のことです。距離空間とは、集合とその上の「距離」を定義する関数（距離関数）を備えた空間を指します。

定義

距離空間 (M, d) から自身への写像 f: M → M が縮小写像であるとは、ある実数 k で、0 < k < 1 を満たすものが存在し、空間 M 内の任意の二点 x, y に対して、写像を適用した後の点 f(x), f(y) 間の距離 d(f(x), f(y)) が、元の点 x, y 間の距離 d(x, y) を k 倍したもの以下になる、つまり


d(f(x), f(y)) ≤ k * d(x, y)


という条件が成り立つ場合をいいます。

この条件は、写像 f が空間内の任意の二点間の距離を、元の距離の k (0 < k < 1) 倍よりも小さく「縮小」させることを意味しています。定数 k は「縮小定数」と呼ばれます。

縮小写像の原理（バナッハの不動点定理）

縮小写像の最も重要な性質の一つに、「不動点」の存在と一意性があります。不動点とは、写像 f によって自身に移される点、すなわち f(p) = p となる点 p のことです。

特に、完備距離空間（「コーシー列」と呼ばれる特殊な点列が必ず収束する距離空間）上では、縮小写像は必ずただ一つの不動点を持つことが知られています。この事実は「縮小写像の原理」あるいは「バナッハの不動点定理」と呼ばれ、解析学における基本的な定理の一つです。

さらに、この定理は不動点の存在を示すだけでなく、その不動点への収束性も保証します。完備距離空間上の縮小写像 f に対して、空間内の任意の点 x を出発点とし、写像 f を繰り返し適用して得られる点列：


x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), ...


すなわち点列 {f^n(x)}_{n=0, 1, 2, ...} は、必ずその写像の持つただ一つの不動点に収束します。

応用

縮小写像の原理は、様々な分野で強力なツールとして用いられます。古典的な応用例としては、常微分方程式の初期値問題の解の存在と一意性を証明する際に利用されることが挙げられます。ピカール・リンデレーフの定理として知られるこの結果は、縮小写像の原理を用いることでエレガントに証明できます。

自己相似集合との関連

縮小写像は、フラクタル図形の一種である「自己相似集合」を構成する理論においても中心的な役割を果たします。

d次元ユークリッド空間 ℝ^d 内の全ての空でないコンパクト集合（閉集合かつ有界な集合）からなる集合族を考えます。この集合族に、ハウスドルフ距離と呼ばれる特別な距離を定義すると、これは完備距離空間となります。

ここで、m個の縮小写像の組 f₁, f₂, ..., f_m を考えます。これらの写像はそれぞれ、ℝ^d 上のコンパクト集合をコンパクト集合に移すものとします。これらの写像を用いて、コンパクト集合 X に対して新しいコンパクト集合 F(X) を、それぞれの写像で変換した集合の合併として定義します：


F(X) = f₁(X) ∪ f₂(X) ∪ ... ∪ f_m(X)


驚くべきことに、この集合上の写像 F は、ハウスドルフ距離に関して縮小写像となることが示されます。したがって、縮小写像の原理により、この写像 F はただ一つの不動点 K を持ちます。この不動点 K は、


K = f₁(K) ∪ f₂(K) ∪ ... ∪ f_m(K)


という性質を満たし、「自己相似集合」と呼ばれます。これは、集合 K が、自身を個々の縮小写像 fᵢ によって縮小・変換したm個のコピーの合併として構成されることを意味します。

さらに、F が縮小写像であることから、任意の初期コンパクト集合 X から出発して写像 F を繰り返し適用して得られる集合列：


X, F(X), F(F(X)), F(F(F(X))), ...


は、一意的に定まる自己相似集合 K に収束します。

このように、縮小写像は、距離を縮めるという単純ながら強力な性質を通じて、数学の様々な深遠な結果（不動点の存在、収束性、解の存在定理、フラクタル構造の構成など）を導くための基本的な概念となっています。

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