縮退

量子力学における縮退：同一エネルギー準位を持つ複数の状態

量子物理学において、縮退とは2つ以上の異なるエネルギー固有状態が、同じエネルギー準位を共有する現象を指します。これは、電子配置や電子のエネルギー準位で頻繁に観察されます。

縮退の基礎

フェルミ粒子の代表である電子は、パウリの排他原理に従い、同一の量子状態を同時に占有することはできません。そのため、一つの電子軌道には最大2個の電子しか収容できません。しかし、軌道の対称性によっては、複数の軌道が同じエネルギー準位を持つ縮退状態となる場合があります。

例えば、d軌道は通常5重に縮退しており、水素原子ではスピン軌道相互作用やラムシフトを無視すれば、2sと2p、3sと3pと3d軌道などが同じエネルギー準位を持ちます。

量子力学では、物理状態はハミルトニアンの固有ベクトル、エネルギー準位は固有値に対応します。ある固有値に複数の固有ベクトル（固有関数）が対応する場合、縮退が生じます。 n個の固有ベクトルに対応する固有値はn重に縮退していると表現され、nは縮退度と呼ばれます。この用語は物理学や物理化学で用いられ、数学用語ではありません。

縮退の解ける条件

電子のエネルギー準位の縮退は、外場などの摂動によって系の対称性が壊れることで解けます。これはエネルギー準位の分裂と呼ばれます。

外場としては、磁場によるゼーマン効果や電場によるシュタルク効果が挙げられます。物質自身の結晶場や配位子場も対称性を低下させ、ヤーン・テラー効果を引き起こす場合があります。また、圧力などの外力を加えると構造相転移が起こり、系の対称性が変化し、バンド構造における特定のバンドの縮退が解ける場合があります。

縮退の判断

数値計算で固有値問題を解く場合、縮退の有無は固有ベクトルに対応する固有値のエネルギー差が、予め設定した閾値を下回った時点で、近似的に縮退していると判断されます。閾値の設定は数値解析手法によって異なりますが、任意に設定される場合もあります。しかし、エネルギー差が非常に小さくても縮退していない可能性があることに注意が必要です。

電磁気学における縮退

電磁気学では、縮退は周波数と縦波の伝播定数が同一の伝播モードを指します。例えば、方形導波管では、mとnが等しい場合、TEmnモードとTMmnモードは縮退します。円形導波管では、TEmnモードとTMm+1,nモードが縮退します。

まとめ

縮退は、量子力学における重要な概念であり、様々な物理現象を理解する上で不可欠です。本稿では、縮退の基本的な概念、縮退が解ける条件、縮退の判断方法、そして電磁気学における類似現象について解説しました。縮退の理解は、物質の性質や機能を解明する上で重要な役割を果たします。 より詳細な理解には、量子力学や固体物理学の専門書を参照することをお勧めします。

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