自乗可積分函数

自乗可積分函数について

自乗可積分函数（じじょうかせきぶんかんすう）とは、実数値または複素数値の可測函数であり、その絶対値の自乗の積分が有限であることを条件としています。数式で表すと次のようになります：

\[

bspegin{equation}
orall f(x) ext{ が自乗可積分であるためには、}

bspegin{equation}
rac{1}{orall f(x)に対して} o rac{1}{orall f(x')} o rac{1}{orall f(x)} ext{ であれば、}

bsp\displaystyle ag{1}
o rac{1}{orall (−∞,∞) |f(x)|^{2} o ext{d}x ext{ の条件は、} < ∞ }.
ag{2}
\ ext{この条件を満たすとき、} fは自乗可積分函数と呼ばれます。

このような函数は、時には有界区間の上でも考えられ、例として[0, 1]のような範囲が挙げられます。

性質

自乗可積分函数の集合は、特定の内積 { iny ⟨egin{bmatrix} ⋅ \ ・ \ ext{他の空間} o f(x) ext{が内積空間としての役割を持つ。}⟩}

について次のように定義されます：

\[
⟨ f,g ⟩ = egin{equation} ∫ A f(x) ar{g(x)} dx ag{1}
\]
ここで、fとgは自乗可積分函数、及びgの複素共役\( ar{g(x)} \) が含まれます。Aは、積分が行われる区間を指し、その区間は(−∞, +∞)や[0, 1]と指定されることが一般的です。

自乗可積分であることは、内積計算により次の条件を満たすことと同義です：
\[
⟨ f, f ⟩ < ∞ ag{2}
\]

誘導される空間

考えた内積によって定まる計量下で、自乗可積分函数は完備距離空間を形成します。この完備距離空間は、数列がコーシー列であるときのみ収束するため、「コーシー空間」とも名付けられます。

また、ノルムによって定まる計量のもとで完備な空間はバナッハ空間とされることから、自乗可積分函数は、内積によるノルム計量のもとでバナッハ空間を形成します。この内積により決定される性質から、自乗可積分函数の空間が内積による計量のもとで完備であり、したがってヒルベルト空間であることが分かります。

この内積空間は通常\( (L_{2}, ⟨⋅,⋅⟩_{2}) \)と呼ばれ、しばしばL2と略記されます。自乗可積分函数の空間は、Lp空間のp=2に対応しています。

まとめ

自乗可積分函数は、一定の条件を満たすことで内積空間を形成し、完備性からヒルベルト空間へとつながる重要な概念です。数理的にも非常に意味深い性質を持つこの関数空間は、数学や物理学などさまざまな分野で利用されています。特に、フーリエ解析や量子力学など、数多くの応用が存在します。

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