自明群

自明群についての詳細

自明群（または自明な群、英語ではtrivial group）は、数学の群論において特に重要な概念であり、一つの元からなる群のことを指します。この元は必ず単位元であり、通常は文脈に応じて0、1、またはeと表記されます。自明群はその構造から、他の群と異なり希少な性質を持ち、すべての自明群は同型と見なされるため、しばしば「the trivial group」と呼ばれます。群の演算が∗である場合、自明群の元同士の演算はe ∗ e = eというふうに定義されます。

自明群の定義と特徴

自明群は、数学の他の概念と同じように、定義が明確です。自明群が含む唯一の元は、必ずその逆元でもあります。したがって、自明群は単位元を持つため、正規群の一つとされています。自明群と混同されがちな概念として空集合がありますが、空集合は元を持たず、単位元を欠くため、群としては定義されません。

任意の群Gが与えられた場合、単位元のみからなる部分集合は、自明群Gの部分群となります。この部分群は自明な部分群（trivial subgroup）と呼ばれ、G自身も部分群として考慮されることがあります。ただし、著者によって自明な部分群の定義が異なるので注意が必要です。特に、「Gは非自明な真の部分群を持たない」という表現は、Gのすべての部分群が自明群{e}とG自身であることを意味します。

性質と位数

自明群の位数は1であり、このためZ1またはC1と記載されることもあります。群の演算が和の場合、自明群は単に0と表現されます。一方、積の場合には1として表記されることが一般的です。自明群やその自明な部分群は、すべて正規部分群であることが知られています。そして、自明な部分群と群自身のみからなる非自明な群は単純群と定義されています。

さらに、自明群は群の圏におしるしとしての役割を果たし、零対象（zero object）として機能します。これは、自明群が始対象かつ終対象であることを意味しています。

まとめ

自明群は数学において群の基本的な構造と性質を理解する上で欠かせない存在であり、その定義や特徴は全ての群の理論において重要です。群の世界での自明群の位置づけを理解することで、群のより複雑な構造を学ぶ手助けになります。

関連項目

• - 小さい群の一覧

参考文献

• - Rowland, Todd and Weisstein, Eric W. “Trivial Group”. mathworld.wolfram.com
• - 森田康夫『代数概論』裳華房、1987年。ISBN 978-4-7853-1311-1。

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