自由代数

自由代数とその定義

自由代数は、数学の環論、特に抽象代数学の領域において重要な構造を持つ。自由代数は、可換環Rに対するn個の不定元{X1, ..., Xn}の上に定義され、その元は非可換の変数として表すことができる。この不定元を用いた自由代数は、可換な多項式環の非可換類似とも言われる。

自由代数の構造

定義によると、自由代数はアルファベット{X1, ..., Xn}から作られる全ての語を基底とした自由R加群であり、これには空の語も含まれる。この空の語は自由代数の単位元として機能する。
積の定義は非常に直感的で、次のように表現される。2つの基底元の積は、対応する語を結合する形で定義される。これにより、各元の積が一意的に決定されることが保証されている。この自由代数は通常、R⟨X1, ..., Xn⟩と記述される。

また、自由代数は不定元の任意の集合に対しても一般化可能である。具体的には、集合X = {Xi | i ∈ I}に対して、自由R代数は以下のように定義される：

$$
R⟨X⟩ := ⨁_{w ∈ X^} Rw
$$

ここで、XはX上の自由モノイドであり、Rはスカラーを表す。さらに、R代数の性質を保持しつつ、語の積が結合となるように構成される。

自由代数と多項式の比較

自由代数R⟨X1, ..., Xn⟩は、全ての言葉が基底を成すため、任意の元は特定の形で一意に表現される。これは、

$$
∑_{i_1,i_2,...,i_k ∈ {1,2,...,n}} a_{i_1,i_2,...,i_k} X_{i_1} X_{i_2} ... X_{i_k}
$$

という形式で記述され、ここでa_{i_1,i_2,...,i_k}はRの元であり、多くは0である。このため、自由代数の元は非可換多項式として扱われることが多い。

非可換性の重要性

自由代数の最も重要な点は、変数が非可換であることだ。これは、例えばX1X2がX2X1と等しくないということを意味する。これにより、自由代数は可換環の多項式とは異なる独特の特性を持つ。実際、自由代数は任意の生成元の集合Eのもとに構成可能であり、これにより自由環Z⟨E⟩としても表せる。

自由代数の応用

自由代数は、より一般的な係数環に対しても拡張可能で、n個の生成元から自由加群を形成することで同じ構造を得られる。また、E上の自由代数を構築する際の普遍性を考慮すると、自由代数の構成は本質的に関手的であり、R代数の圏から集合の圏への忘却関手の左随伴として機能する。

自由代数はまた、テンソル代数や非可換環の研究にも大きな影響を与え、様々な数学的領域での深い理解に寄与する。さらに、可除環の下では自由イデアル環が形成され、自由代数の性質をどのように利用するかに対しても示唆を与える。

関連項目

• - 余自由余代数
• - テンソル代数
• - 自由対象
• - 非可換環
• - Rational series

このように歳月を経て数々の研究が行われてきた自由代数は、現代数学の広範な分野において欠かせない概念となっている。

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