行列の定値性

行列の定値性

行列の定値性は、特に線型代数学において重要な概念であり、行列に付随する二次形式の符号に密接に関連しています。この性質は主に対称行列やエルミート行列に対して定義されますが、一般的な文献では他の行列にも拡張されています。

定義

行列の定値性にはいくつかのカテゴリがあります。以下に主な定義を示します。

正定値

実対称行列Mが正定値である場合、任意の零ベクトルでない実数列ベクトルzに対して、二次形式`z^T M z`が常に正となります。さらに一般化すると、エルミート行列Mが正定値である時、任意の非零複素ベクトルzに対して`z^ M z`が正の実数になります。

負定値

エルミート行列Mが負定値とは、任意の非零ベクトルzについて`z^ M z < 0`が成立することを指します。

半正定値

行列Mが半正定値であるときは、任意の非零ベクトルzに対して`z^ M z ≥ 0`が成り立ちます。

半負定値

逆に、行列Mが半負定値であるときは、任意の非零ベクトルzに対して`z^ M z ≤ 0`が成り立ちます。

不定値

正定値、負定値、半正定値、半負定値のいずれにも該当しないエルミート行列は、不定値と呼ばれます。

正定値行列は、ベクトル空間内の内積や正定値対称双線型形式と強い関係を持っています。

表記法

行列Aの定値性を示すために、特定の記号が用いられることがあります。この記号は時に正行列や非負行列を表すのにも使用されますが、特定の文脈においてその意味を理解することが重要です。

性質

固有値との関係

実対称行列の定値性は、その固有値に密接に結びついています。具体的には、以下の関係が成り立ちます。

• - 行列Aが正定値行列である場合、すべての固有値が正（λ>0）である。
• - 半正定値行列は、すべての固有値が非負（λ≥0）である必要があります。
• - 負定値行列は、すべての固有値が負（λ<0）です。
• - 半負定値行列の場合、すべての固有値が非正（λ≤0）です。
• - 不定値行列は、少なくとも1つの正および1つの負の固有値が存在します。

逆行列との関係

正定値な実対称行列Aについては、逆行列A^(-1)も正定値です。また、負定値な行列の場合でも同様の性質が成立します。

行列式との関係

行列Aが正定値の場合、その行列式det(A)は常に正の値を持ちます。これは、行列の固有値の積によって成り立つ性質です。

特徴と関連性

行列の定値性については、いくつかの必要十分条件があります。これらの条件は、行列の特異性や小行列式によっても特徴づけられます。例えば、エルミート行列が負定値となるためには、そのk次の首座小行列式がkが奇数の時負、偶数の時正でなければなりません。

また、任意の行列Aに対して行列A^Aは半正定値であり、rank(A) = rank(A^A)の関係が成り立ちます。

実数と複素数の一貫性

実数の行列は複素数の行列としても扱えます。このことから、正定値の定義においては一貫性が保たれることが求められます。特にエルミート行列の場合、正定値性の定義が重要な役割を果たします。

おわりに

行列の定値性は、線型代数学や応用数学の様々な分野で不可欠な概念であり、その理解は多くの理論的および実用的な応用を支える基盤となります。学習者や研究者にとって、この性質を掌握することは重要です。

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