行列の対数

行列の対数：指数関数の逆関数としての行列

数学において、行列の対数は、行列の指数関数を施した結果が元の行列となるような別の行列として定義されます。これは、スカラー値の対数の概念を、行列という多次元的な対象に拡張したものです。ただし、すべての行列が対数を持つわけではなく、たとえ対数を持つ場合でも、複数の対数を持つ可能性があります。

行列の指数関数

まず、行列の指数関数を定義します。正方行列Bに対して、行列の指数関数は以下の級数で定義されます。

$e^B = exp(B) := \sum_{n=0}^{\infty} \frac{B^n}{n!}$

この級数は、多くの場合、収束します。

行列の対数の定義

与えられた正方行列Aに対して、$e^B = A$ を満たす正方行列BをAの対数と呼び、$B = log(A)$ あるいは $ln(A)$ と表記します。

行列の対数は、複素数の対数と同様に、一般的には一意的に定まりません。後述する例のように、複数の対数を持つ場合があります。

行列の対数の計算方法

行列の対数を計算する方法は、行列の種類によって異なります。

1. 対角化可能な行列

対角化可能な行列Aの場合、Aを対角行列Dと変換行列Pを用いて$A = PDP^{-1}$と対角化し、対角行列Dの対角成分の対数をとった行列を計算することで$log(A)$を求めることができます。ただし、Aが実行列であっても、対数は複素数になりうることに注意が必要です。

2. 対角化不可能な行列

対角化不可能な行列の場合、ジョルダン標準形を用いる必要があります。ジョルダン細胞の対数は、行列の要素の計算式から直接求めることができます。

行列の対数の性質

行列の対数にはいくつかの重要な性質があります。

AとBがともに正定値行列の場合、$tr(ln(AB)) = tr(ln(A)) + tr(ln(B))$ が成り立ちます。ここでtrはトレースを表します。
AとBが可換行列の場合、$ln(AB) = ln(A) + ln(B)$ が成り立ちます。
* $ln(A^{-1}) = -ln(A)$ が成り立ちます。

具体的な例

1. 平面回転

原点を中心とする角度αの回転を表す2x2行列は、

$A = \begin{bmatrix} cos(\alpha) & -sin(\alpha) \ sin(\alpha) & cos(\alpha) \end{bmatrix}$

と表されます。この行列Aの対数は、任意の整数nに対して

$B_n = (\alpha + 2\pi n)\begin{bmatrix} 0 & -1 \ 1 & 0 \end{bmatrix}$

と表すことができます。したがって、Aは無限個の対数を持ちます。

2. 三次元空間上の回転行列

三次元空間における回転は、3x3直交行列で表されます。このような回転行列の対数は、ロドリゲスの回転公式を用いて計算できます。ただし、固有値-1を持つ場合、対数は一意に定まりません。

リー群とリー代数との関係

行列の対数の概念は、リー群とリー代数の理論と深く関連しています。リー群の元に対応するリー代数の元は、行列の対数として解釈できます。

存在性と一意性

行列Aが対数を持つための必要十分条件は、Aが可逆行列であることです。対数は一意とは限りませんが、行列が負の実固有値を持たない場合、主値と呼ばれる一意な対数が存在します。

2x2行列の場合

2x2実行列の場合、行列式が負の場合、実数の対数は存在しません。

まとめ

行列の対数は、行列の指数関数の逆関数として定義される重要な概念です。その計算方法や性質は、行列の種類や条件によって異なります。リー群やリー代数との関係も深く、数学の様々な分野で応用されています。様々な例を通して理解を深めることが重要です。

もう一度検索