被約環

被約環とは

数学の分野において、特に可換環論において重要な概念の一つが「被約環」です。被約環は、0でないベキ零元を持たない環として定義されます。すなわち、ある元が何乗かすると0になる場合、その元は0でなければなりません。これは、次のように数式で表現できます。環Rが被約であるとは、すべての元r ∈ Rに対して、

$$r^n = 0 ext{ ならば } r = 0$$

が成立することを意味します。この定義により、被約環ではベキ零元が存在しない特性が強調されています。

被約環の性質

被約環の性質にはいくつかの重要なポイントがあります。まず、被約環の部分環や直積、局所化はすべて被約です。さらに、ある環の剰余環R/Iが被約である条件は、イデアルIが根基イデアルであることと同等です。また、Rがネーター環の場合、Rが被約であるとき、零イデアルの準素分解において、成分として極小素イデアルが現れることとも同値です。

被約性は局所的な特性を持つため、環Rが被約であることは、すべての極大イデアルに対して局所化した環R_mも被約であることと同値です。これにより、被約性は環の構造を局所的に分析する際の重要な手掛かりとなります。

被約スキーム

可換環論の中で、スキームの概念もまた被約性と密接に関連しています。スキーム$(X, oldsymbol{O}_X)$が被約であるためには、任意の開集合Uに対して、$ oldsymbol{O}_X(U)$がベキ零元を持たない必要があります。この特性は、すべての点x ∈ Xについての局所環もまた被約であることと同じです。

被約環の例

被約環の例として、整数の環$oldsymbol{Z}$や、体上の任意の多項式環が挙げられます。また、整域は被約環であることが知られていますが、その逆は成り立たないことに注意が必要です。

具体的な数式において、$oldsymbol{Z}/6oldsymbol{Z}$は被約である一方で、$oldsymbol{Z}/4oldsymbol{Z}$はベキ零元を持つため被約ではありません。一般的に、$oldsymbol{Z}/noldsymbol{Z}$が被約であるための条件は、nが0もしくは平方数でない整数であることに限られます。さらに、環$K[X]/(X^2)$はベキ零元が存在するため被約ではありません。

参考文献

被約環やその理論についての詳細な情報は、多くの参考文献に記載されています。特に、Ernst Kunzによる『Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie』や、AtiyahとMacdonaldによる『Introduction to Commutative Algebra』は、可換環論の基礎を学ぶ上で非常に有用です。加えて、N. Bourbakiによる『Commutative Algebra』も、より深い理解を促す資料となります。これらの文献を参考にしながら、さらに深入りしていくことができるでしょう。

もう一度検索