部分環

部分環の定義と性質

数学における部分環（ぶぶんかん、英: subring）は、与えられた環 R の要素から構成される部分集合 S が、加法および乗法の演算に対して環の性質を保持する場合を指します。部分環 S は、環 R の単位元を含むことが条件とされていますが、単位元を持たない場合の定義もあり、その場合は S が R の加法と乗法の双方に対して閉じている限り、部分環とされます。このように、部分環の概念は環 R の性質を内部で部分的に反映する構造を持つものと位置づけられます。

部分環の特徴

環 R の部分環 S は、環の構造を保持しつつ R の部分集合である必要があります。具体的には、S もまた環であり、加法と乗法の演算が定義されている必要があります。この条件をもう少し堅実に述べると、S は加法群 R の部分群かつ、乗法モノイド R の部分モノイドとなります。例えば、整数環 Z やその剰余類環 Z/nZ の場合、これらは自分自身を除き、他の部分環を持ちません。

任意の環 R は、0 以上の任意の整数 n に対し、Z/nZ と同型な最小の部分環を一つだけ持ち、自然数 n = 0 の場合は整数環 Z 自体がその部分環になると考えられます。

部分環の判定法

部分環の判定法によると、任意の環 R の部分集合が部分環となるためには、その集合が R の加法単位元を含み、かつ減法と乗法に関して閉じていることが求められます。例えば、整数環 Z は実数体 R の部分環であり、多項式環 Z[X] の部分環でもあります。

生成された部分環

任意の環 R において、部分環の任意個数の交わりもまた部分環となります。従って、任意の部分集合 X に対して、その X を含む部分環全ての交わり S は、X を含む R の部分環になります。このように生成される部分環 S は、X を含む部分環の中で最も小さいものであり、これを「X によって生成された R の部分環」と呼びます。なお、S = R となる時、環 R は X によって生成されるとされます。

イデアルとの関係

真のイデアルは、環 R の加法に対して閉じた部分集合であり、元による左および右からの乗法に関しても閉じています。環の定義を単位元を持たない形で考える場合、すべての非空のイデアルは部分環となります。そのため、イデアルは元の環の単位元とは異なる乗法単位元を持つことがあります。

例えば、成分ごとの加法と乗法を持つ環 Z × Z では、イデアル I = {(z,0) | z ∈ Z} が定義され、これは乗法単位元 (1,0) を持ちますが、環 Z × Z の単位元 (1,1) とは異なります。つまり、このような場合、I は単位的環でありながらも、Z × Z の「非単位的部分環」として位置づけられます。

可換部分環による分析

環 R の性質は、可換部分環がどのようなものかを通じて理解できます。四元数環 H は唯一の平面的部分環として複素数平面を含みます。また、分解型四元数環は三種類の平面的部分環を有しています。このように、部分環の性質を理解することで、環 R 自体の構造をより深く知る手助けができます。

参考文献

• - Iain T. Adamson (1972). Elementary rings and modules. University Mathematical Texts. Oliver and Boyd. pp. 14–16. ISBN 0-05-002192-3
• - Serge Lang (1993). Algebra (第三版). Reading, Mass.: Addison-Wesley Pub. Co. ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001
• - David Sharpe (1987). Rings and factorization. Cambridge University Press. pp. 15–17. ISBN 0-521-33718-6

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