ネウシス作図

ネウシス作図：古代の幾何学における特異な作図法

ネウシス作図（古代ギリシア語: νεῦσις）は、古代ギリシアの数学者たちが用いた作図法の一つです。この手法は、定規とコンパスだけでは解決できない幾何学的な問題に取り組むための、特別なアプローチとして存在しました。

ネウシス作図の基本概念

ネウシス作図は、2つの曲線（それぞれlとmとします）と、点Pを基点として、長さaの線分を作図する手法です。曲線lは「準線」または「ガイド線」と呼ばれ、曲線mは「キャッチ線」と称されます。この作図プロセスでは、ネウシス定規と呼ばれる特別な道具を用いて、長さaの線分を探索します。

この作図法の核心は、特定の条件を満たす線分を「見つけ出す」ことにあります。つまり、事前に長さが与えられた線分を、ある条件を満たすように配置するという、従来の作図とは異なるアプローチをとるのが特徴です。

ネウシス作図の重要性と具体例

ネウシス作図が重要視されてきたのは、定規とコンパスによる作図だけでは解決できない問題、例えば角の三等分や立方体倍積といった難題を解決できる可能性を秘めているからです。アルキメデス、パップス、ニュートンといった著名な数学者もこの作図法を用いたとされています。

しかし、この手法は現代ではあまり用いられません。その理由は、より体系的で厳密な数学的アプローチが確立されたため、ネウシス作図のような特殊な手法の必要性が薄れてきたからです。

ネウシス作図と正多角形

A. Baragarの研究によれば、ネウシス作図で構成可能な点から得られる体の拡大次数は、2、3、5、6のいずれかに限定されます。この事実は、特定の正多角形がネウシス作図では構成できないことを示すのに役立ちます。例えば、頂点数が23、29、43、47、49、53、59、67、71、79、83、89である正多角形はネウシス作図では作図できません。また、正p角形が作図可能であるならば、p-1は5より大きな素因数を持つ必要があります。

100以下の正多角形の場合、正三、五、十七角形は通常の作図で、正七、九、十三、十九、二十七、三十七、七十三、八十一、九十七角形は角の三等分を認めることで作図可能です。しかし、全ての五次方程式がネウシス作図可能な解を持つかについては、まだ解明されていません。特に、正十一、二十五、三十一、四十一、六十一角形の作図可能性は、現在でも未解決の重要な問題です。

正十一角形がネウシス作図可能であることは、2014年にBenjaminとSnyderによって証明されました。さらに、非負整数r, sと正整数tを用いて2^r 3^s 5^t + 1の形で表せる11より大きな素数p個の頂点を持つ正多角形や、頂点数が5より大きな5の累乗である正多角形のネウシス作図可能性は未解決です。

ネウシス作図の衰退

トーマス・ヒースによれば、オエノピデスがコンパスと定規のみを用いた作図を始めたとされ、ヒポクラテスがネウシス作図を避ける習慣を広めました。ユークリッドも『原論』でネウシス作図を避けました。

プラトンのイデア論の影響で、作図法は以下の三段階に分類されるようになりました。

1. 直線と円による作図
2. 円錐曲線を用いる作図
3. ネウシス作図のようなその他の手法

ネウシス作図は、上位の手法で解決できない場合の最終手段として用いられますが、パップスは他の手法で解決可能な問題にネウシス作図を用いることを「些細な問題」と見なしています。

まとめ

ネウシス作図は、古代ギリシアの数学者たちが用いた、高度な作図法です。特定の問題を解決する強力なツールでしたが、現代数学の発展とともに、その重要性は薄れました。しかし、ネウシス作図の背後にある数学的な概念は、現代の数学研究においても興味深い問題を提供し続けています。

参考文献

R. Boeker, 'Neusis', in: Paulys Realencyclopädie der Classischen Altertumswissenschaft, G. Wissowa red. (1894–), Supplement 9 (1962) 415–461.
T. L. Heath, A history of Greek Mathematics (2 volumes; Oxford 1921).
H. G. Zeuthen, Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum [= The Theory of Conic Sections in Antiquity] (Copenhagen 1886; reprinted Hildesheim 1966).

関連項目

角の三等分問題
ピアポント素数
指矩

外部リンク

MathWorld page
Angle Trisection by Paper Folding

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