角運動量の合成

量子力学における角運動量の合成：原子構造から核構造まで

量子力学において、角運動量の合成とは、複数の角運動量をもつ系において、それらを合成して全角運動量を求める操作です。これは、原子や分子の構造、スペクトル、そして原子核の性質を理解する上で極めて重要です。

角運動量保存則と合成の必要性

系に外力が働かない場合、系の全角運動量は保存されます。この角運動量保存則は、系が球対称なポテンシャル場にあるか、等方空間を運動する場合に成立します。これらの場合、角運動量演算子は系のハミルトニアンと交換し、角運動量とエネルギーは同時に確定した値を持ちます。

しかし、複数の粒子が相互作用する系では、個々の粒子の角運動量は保存されず、全角運動量のみが保存されます。例えば、原子中の電子は核からのクーロン力だけでなく、電子間相互作用やスピン軌道相互作用も受けます。このような相互作用がある場合、個々の電子の軌道角運動量やスピン角運動量は保存されませんが、それらを合成した全角運動量は保存されます。角運動量の合成はこのような状況で有効となります。

角運動量の合成：具体的な例

角運動量の合成は様々な場面で用いられます。

原子スペクトル: 原子における電子の軌道角運動量とスピン角運動量の合成は、原子スペクトルを理解する上で不可欠です。電子の軌道角運動量とスピン角運動量は、スピン軌道相互作用によって相互作用し、その結果、エネルギー準位が分裂します。
量子化学: 分子の電子状態を記述する際、電子のスピン角運動量の合成は重要な役割を果たします。電子のスピンは、分子の磁気的性質や化学反応性に影響を与えます。
核物理学: 原子核の構造を理解する上で、核子の軌道角運動量とスピン角運動量の合成は必須です。シェルモデルでは、核子の角運動量の合成によって核のエネルギー準位が決定されます。

合成の方法：LS結合とjj結合

角運動量の合成方法は、系の性質によって異なります。軽い原子では、電子スピンが先に結合して全スピン角運動量Sを形成し、軌道角運動量が結合して全軌道角運動量Lを形成します。その後、SとLが結合して全角運動量Jを形成するLS結合が用いられます。

重い原子では、スピン軌道相互作用が強くなるため、個々の電子の軌道角運動量とスピン角運動量が先に結合して全角運動量jを形成し、それらが結合して全角運動量Jを形成するjj結合が用いられます。

その他の角運動量カップリング

スピン軌道相互作用以外にも、スピン-スピン結合や、核スピンと電子のスピン間の相互作用など、様々な角運動量カップリングが存在します。

スピン-スピン結合: 核磁気共鳴（NMR）分光法では、異なる原子核のスピン間の結合が重要な役割を果たし、分子の構造に関する情報を提供します。
* スピン軌道相互作用: これは、電子のスピン角運動量と軌道角運動量間の相互作用です。この相互作用は、原子スペクトルの微細構造を引き起こします。

項記号と選択律

原子の状態やスペクトル遷移は、項記号で表現されます。項記号は、全軌道角運動量L、全スピン角運動量S、全角運動量Jなどの量子数を使って記述されます。光子の放出や吸収を伴う遷移では、角運動量保存則を満たす必要があります。このため、項記号の選択律によって、許容遷移が決定されます。

相対論的効果

非常に重い原子では、相対論的効果が重要になります。電子のエネルギー準位に相対論的なシフトが生じ、スピン軌道相互作用の効果がさらに強調されます。

原子核における角運動量の合成

原子核においても、核子の軌道角運動量とスピン角運動量の合成が重要です。シェルモデルでは、スピン軌道相互作用が強く、最低エネルギー状態はL-Sではなくl+sとなります。

まとめ

角運動量の合成は、原子、分子、原子核といったミクロな世界の構造や性質を理解する上で不可欠な概念です。LS結合、jj結合といった具体的な合成方法、スピン軌道相互作用、相対論的効果など、様々な要素を考慮することで、より正確な記述が可能となります。この概念は、原子スペクトル、量子化学、核物理学など、幅広い分野で応用されています。

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