誤差分布

誤差分布の概要

誤差分布（ごさぶんぷ）は、連続型の確率分布で、指数べき分布や一般誤差分布とも呼ばれています。この分布は、主に誤差のモデリングや信号処理に用いられ、その性質は統計学的分析において非常に重要です。以下では、誤差分布の定義とその性質について詳しく解説します。

定義と性質

誤差分布の確率密度関数は、独立変数が確率変数である場合に次のように表されます。

• - 独立変数: $x~(-

\infty < x < \infty)$

• - パラメータ: $\mu~(-\infty < \mu < \infty), \phi > 0, \gamma > 0$

このとき、誤差分布の確率密度関数 $p(x; \mu, \phi, \gamma)$ は次の式で表されます:

$$
p(x; \mu, \phi, \gamma) = \frac{\exp\left(-\frac{1}{2}\left|\frac{x-\mu}{\phi}\right|^{\frac{\gamma}{2}}\right)}{2^{\frac{\gamma}{2}+1}\Gamma(\frac{\gamma}{2}+1)\phi}
$$

この数式において、$ ext{exp}$ は自然指数関数、$ ext{Γ}$ はガンマ関数を示しています。この分布に対する期待値は $ ext{μ}$ であり、分散は次の式で計算されます:

$$
\sigma^2 = \frac{2^{\gamma}\phi^2\Gamma\left(\frac{3\gamma}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{\gamma}{2}\right)}
$$

ここで、特に$ ext{μ} = 0, \phi = \gamma = 1$のとき、誤差分布は標準正規分布 $N(0,1)$ に一致します。

特別な場合の誤差分布

誤差分布の特殊なケースとして、パラメータが異なる設定を考えます。例えば、$ ext{ϕ} = 1/2, ext{γ} = 2$の場合、この分布はラプラス分布に変化します。これは、誤差分布がさまざまな状況において異なる挙動を示すことを示しています。

誤差分布は、データに対する誤差をモデル化するための有用なツールであり、特に信号処理や統計分析で重要な役割を果たします。例えば、実験データの誤差を評価したり、異常値の検出を行ったりする際に、その性質が生かされます。

参考文献

誤差分布に関する詳細な知識を得るためには、以下の文献を参考にすることが推奨されます。

• - 蓑谷千凰彦著『統計分布ハンドブック』、朝倉書店 (2003)

このように、誤差分布は応用範囲が広く、様々な場面で使用されています。統計的モデリングやデータ解析において、誤差や変動を適切に扱うための知識は非常に価値があります。誤差の性質を正確に理解し、それを適切に適用することで、より信頼性の高い解析が可能となります。

関連項目

• - 確率分布

外部リンク

• - 朱鷺の杜Wiki

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