ラプラス分布

ラプラス分布とは、統計学や確率論において重要な役割を果たす連続確率分布の一種です。その形状から、「二重指数分布」あるいは「両側指数分布」とも呼ばれることがあります。この分布の名前は、18世紀から19世紀にかけて活躍したフランスの傑出した数学者、ピエール＝シモン・ラプラスにちなんで付けられました。

定義

ラプラス分布の確率的な振る舞いは、確率密度関数 (PDF) によって定義されます。実数全体（-∞ から ∞）を定義域とする確率変数 x に対し、ラプラス分布のPDFは、位置母数 μ（分布の中心を示す実数）と尺度母数 b（分布の広がりを示す正の実数）を用いて、以下の式で表されます。


f(x; μ, b) = (1 / 2b) exp(-|x - μ| / b)


ここで、`exp()` は自然対数関数 `ln()` の逆関数である指数関数を、`|x - μ|` は x と μ の間の絶対値距離を示します。この式から、PDF は x = μ のときに最大値を取り、μ から離れるにつれて指数関数的に減少することがわかります。絶対値を含むため、μ の両側でPDFの値は対称的です。特に、μ = 0 かつ b = 1 の場合の分布を標準ラプラス分布と呼びます。一般のラプラス分布は、標準ラプラス分布を平行移動（μ）し、拡大縮小（b）したものと考えることができます。つまり、`f(x; μ, b) = (1/b) f((x - μ) / b; 0, 1)` という関係が成り立ちます。

性質

ラプラス分布は、その形状と定義からいくつかの特徴的な統計量を有します。

期待値 (平均): 分布の中心を示すパラメータである位置母数 μ と等しくなります。つまり、E[X] = μ です。
分散: 分布の散らばりの度合いを示す分散は、尺度母数 b を用いて Var[X] = 2b² と計算されます。
歪度: 分布の非対称性を示す歪度は 0 です。これは、PDFが位置母数 μ を中心に完全に左右対称であることから明らかです。
尖度: 分布の中心付近の尖り具合と裾の厚さを示す尖度は 3 です。これは、正規分布の尖度（通常0と定義されることが多い）と比較して、ラプラス分布の方が中心がより尖っており、同時に裾が厚い、すなわち平均から大きく外れた値が発生しやすい傾向があることを示しています。

また、確率変数 x がある値以下になる確率を与える累積分布関数 (CDF) は、以下のように表されます。

x < μ のとき: F(x; μ, b) = (1/2) exp((x - μ) / b)
x ≥ μ のとき: F(x; μ, b) = 1 - (1/2) exp(-(x - μ) / b)

サンプリング

ラプラス分布に従う乱数を生成する一般的な方法の一つに、逆関数法があります。この方法は、[0, 1] 区間の一様分布に従う乱数を利用して、目的の分布に従う乱数を生成する手法です。

ラプラス分布の場合、累積分布関数 (CDF) の逆関数を用いることでサンプリングが可能です。まず、区間 [-1/2, +1/2] 上の一様分布 U(-1/2, +1/2) から一つの乱数 u を生成します。この u を用いて、位置母数 μ、尺度母数 b を持つラプラス分布に従う乱数 x を以下の式で得ることができます。


x = μ - b sgn(u) ln(1 - 2 |u|)


ここで、`sgn(u)` は u の符号関数（u > 0 なら 1, u < 0 なら -1, u = 0 なら 0）、`ln()` は自然対数関数、`|u|` は u の絶対値を表します。この式は、一様乱数 u* をラプラス分布のCDFの逆関数に適用することによって導出されます。この手法により、比較的容易にラプラス分布からの標本を生成できます。

関連情報

ラプラス分布は、その性質から誤差のモデリング、信号処理、特定のタイプのデータの統計分析など、様々な分野で利用されています。関連する概念としては、確率分布一般、特に指数分布や正規分布などと比較検討されることが多い分布です。

参考文献としては、専門的な統計学のハンドブックや統計科学辞典などが挙げられます。

関連項目：確率分布

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