豊富な直線束

豊富性とその周辺概念

代数幾何学の世界では、多様体やスキームと呼ばれる幾何学的対象の上に定義される直線束（可逆層とも呼ばれ、ランク1の局所自由層のことです）の性質が、その基礎となる空間の構造を理解する上で極めて重要です。特に、「豊富」や「非常に豊富」と呼ばれる直線束は、空間を射影空間の中にどのように埋め込めるか、あるいはその空間上の層がどれだけ「十分な」大域的切断を持つか、といった性質と深く結びついています。

大域切断で生成される層と射

一般に、空間X上の層Fが「大域切断によって生成される」とは、X全体で定義されたFの切断（大域切断）たちが、Xの任意の点における層の芽、あるいは任意の開集合上の切断を「局所的に」生成できる状態を指します。直線束のような局所自由な層の場合、これは任意の点xにおいてゼロにならない大域切断が少なくとも一つ存在することと同値です。

このような性質を持つ層、特に直線束は、空間Xから射影空間Pnへの写像を定めることができます。具体的には、n+1個の大域切断s0, ..., snを選択すると、各点xに対し、その点における切断の値の比 [s0(x) : ... : sn(x)] をPnの点として対応させる写像が得られます。この写像を通して、射影空間上の標準的な層O(1)（超平面因子に対応する直線束で、その切断は1次同次正則関数に相当します）を引き戻すと、元の層Fと（適切な条件下で）同型になります。逆に、Pnへの射が与えられれば、O(1)の引き戻しは必ず大域切断で生成される層となります。

非常に豊富な直線束

直線束Lが「非常に豊富」であるとは、それを引き戻すことによって、基礎となる空間Xがある射影空間Pnの中に埋め込まれるような、特別な埋め込み写像iが存在することを意味します。より厳密には、あるPnとその上の標準ツイスト層O(1)が存在し、埋め込みiによるその引き戻し i(O(1)) が元の直線束Lと同型であるときに、Lは非常に豊富であると言われます。

この定義からわかるように、非常に豊富な直線束は必ず大域切断によって生成される層であり、さらにその大域切断によって誘導される射は、Xを射影空間内に「歪みなく」写し込む埋め込みでなければなりません。

非常に豊富な直線束 L と任意の連接層 F が与えられるとき、セールの定理によれば、F と L の十分大きなテンソルべき F ⊗ L⊗n は、十分に大きな n に対して有限個の大域切断によって生成されることが保証されます。この事実は、射影多様体上の連接層の大域切断や高次コホモロジー群が有限生成になるという、射影的な状況における極めて重要な性質の根拠となります。

豊富な直線束

「豊富な直線束」Lは、非常に豊富な直線束の概念をわずかに緩めたものです。豊富さの定義はいくつか同値なものがありますが、最も理解しやすいのは「直線束Lの正のある整数n乗のテンソルべき L⊗n が非常に豊富になる」というものです。これは、L自体は埋め込みを与えないかもしれないが、何回か自分自身とテンソル積を取ると埋め込みを与えられるようになる、ということです。

別の同値な定義として、X上の任意の連接層Fに対し、ある十分大きな整数n(F)が存在して、FとLのn乗テンソル積 F ⊗ L⊗n がその大域切断によって生成される、という条件があります。これは、豊富な直線束が、他の連接層と組み合わせることで、大域的な切断を豊富にする能力を持つことを示しています。

因子論の言葉では、カルティエ因子Dが豊富であることは、kD（kは正の整数）に対応する直線束が十分大きなkに対して非常に豊富になることと同値です。これは、ある意味で「十分正」な因子に対応します。

豊富性の判定条件

与えられた直線束（または因子）が豊富であるかを判定するための強力な基準が幾つか知られています。

中井・モアシェゾンの判定条件: 代数的閉体上の固有スキームX上のカルティエ因子Dが豊富であることと、Xの任意の既約閉部分スキームYに対し、その次元をdとしたときの交叉数 D^d.Y が常に正であることとは同値です。例えば曲面の場合、Dが豊富であることは、自己交叉数D.Dが正であり、かつ任意の曲線Cとの交叉数D.Cが正であることと同値になります。
クライマンの判定条件: 射影スキームX上の因子Dが豊富であることと、X上の曲線のなす錐の閉包において、任意のゼロでない曲線Cとの交叉数D.Cが正であることとは同値です。
層コホモロジーによる判定: カルタン-セール-グロタンディークの定理の一部として、適切な条件下にある空間X上の直線束Lについて、Lが豊富であること、十分大きな L⊗m が非常に豊富であること、任意の連接層Fに対し十分大きな F ⊗ L⊗m が大域切断で生成されること、そして（ネーター環上の固有スキームの場合）任意の連接層Fに対し十分大きな F ⊗ L⊗m の高次コホモロジーが消滅すること (H^i(...) = 0 for i>=1) は全て同値であることが示されています。

一般化

豊富性の概念は、直線束だけでなく、より一般的なベクトルバンドル（局所自由層）にも拡張されます。ベクトルバンドルFが豊富であるとは、それに対応する射影空間バンドルP(F)上の標準的な直線束O(1)が豊富であると定義されます。豊富なベクトルバンドルも、豊富な直線束と同様に望ましい幾何学的性質を持ちます。

また、双有理幾何学においては、「大きな直線束」という概念が重要です。これは、豊富な直線束よりもやや弱いですが、その十分大きなテンソルべきの大域切断によって定義される有理写像が双有理同値写像となるような直線束です。大きな直線束は、豊富な直線束と有効な直線束のテンソル積として特徴づけられることもあります。

これらの豊富性の概念は、代数多様体の分類や、特異点解消、双有理幾何学におけるモデルの構成など、現代代数幾何学の様々な分野で基本的なツールとして用いられています。また、複素幾何学においても、正値直線束との関連（小平埋め込み定理など）が深く研究されています。

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