超直方体

超直方体（ちょうちょくほうたい、hyperrectangle）

幾何学の世界において、「超直方体」とは、私たちが日常的に目にする長方形や直方体といった図形を、より高次の次元空間へと拡張した基本的な図形概念です。英語では「hyperrectangle」や「orthotope」と呼ばれます。

定義

超直方体は、数学的には複数の閉区間（数直線上のある範囲 [a, b] のようなもの）のデカルト積として厳密に定義されます。

具体的には、n次元ユークリッド空間 Rⁿ において、各次元（座標軸）に沿った座標の値が、それぞれ指定された閉区間 [aᵢ, bᵢ] (ただし aᵢ < bᵢ を満たす実数 aᵢ, bᵢ) の中に収まる点の集合として定義されます。

n個の閉区間 [a₁, b₁], [a₂, b₂], ..., [aₙ, bₙ] が与えられたとき、これらの区間を組み合わせたデカルト積

$[a_1, b_1] \times [a_2, b_2] \times \cdots \times [a_n, b_n]$

がn次元の超直方体となります。これは、n次元空間における点 (x₁, x₂, ..., xₙ) のうち、すべての i (i = 1, 2, ..., n) について aᵢ ≤ xᵢ ≤ bᵢ という条件を満たす点の集まりに他なりません。nは1以上の整数であれば、任意の次元に対して超直方体を考えることができます。

次元ごとの例

この定義を具体的な次元で考えると、概念がより分かりやすくなります。

1次元 (n=1): 1次元空間（数直線）における超直方体は、一つの閉区間 [a₁, b₁] です。これは単なる「線分」にあたります。
2次元 (n=2): 2次元空間（平面）における超直方体は、二つの閉区間 [a₁, b₁] と [a₂, b₂] のデカルト積 [a₁, b₁] × [a₂, b₂] です。これは、x座標が [a₁, b₁] の範囲にあり、y座標が [a₂, b₂] の範囲にある点の集合であり、辺が座標軸に平行な「長方形」となります。
3次元 (n=3): 3次元空間における超直方体は、三つの閉区間 [a₁, b₁], [a₂, b₂], [a₃, b₃] のデカルト積 [a₁, b₁] × [a₂, b₂] × [a₃, b₃] です。これは、x, y, z 各座標がそれぞれの区間内にある点の集合であり、辺が座標軸に平行な「直方体」となります。

このように、超直方体は線分、長方形、直方体といった基本的な図形を、どんな高次元空間にも拡張できる概念なのです。

性質と関連概念

n次元の超直方体は、いくつかの基本的な幾何学的性質を持ちます。

頂点: n次元超直方体は 2ⁿ 個の頂点を持っています。各頂点は、各次元の区間 [aᵢ, bᵢ] のいずれかの端点 (aᵢ または bᵢ) を座標値として持つ点です。
辺: 超直方体の「辺」は、一つの座標軸に平行で、その軸方向以外のすべての座標が固定された線分です。
面 (ファセット): (n-1)次元の「面」（ファセット）は、一つの座標が区間のいずれかの端点 (aᵢ または bᵢ) に固定され、他の次元の座標がそれぞれの区間内を自由に動く点の集合です。n次元超直方体は 2n 個の (n-1)次元の面を持ちます。

超立方体

超直方体の特殊な場合として、「超立方体（hypercube）」があります。これは、すべての辺の長さが等しい超直方体を指します。すなわち、各次元の区間の幅 (bᵢ - aᵢ) がすべて等しい超直方体です。これは、1次元の線分、2次元の正方形、3次元の立方体といった、より「正方形」や「立方体」に近い性質を持つ図形の高次元版と言えます。

超多面体との関係

超直方体、特に超立方体は、「超多面体（polytope）」と呼ばれるより一般的な図形の一種です。超多面体は、有限個の超平面によって囲まれた凸集合として定義されます。超立方体は、超多面体の中でも特に「平行超多面体（parallelotope）」の特殊な形であるとも言えます。平行超多面体は、平行移動によって互いに変換できるような図形を高次元に拡張したものです。

応用

超直方体は、数学の様々な分野、特に幾何学、解析学、位相空間論などで基本的な例として登場します。また、コンピュータグラフィックスにおけるバウンディングボックス（物体の最小外接直方体）、最適化問題における探索空間の定義、データ分析における多次元データの範囲指定やインデックス構造など、応用科学や工学の分野でも重要な概念として広く利用されています。

このように、超直方体は比較的単純な数学的定義を持ちながらも、様々な次元の幾何学的対象を統一的に扱うための基盤となり、純粋数学から応用分野まで幅広く現れる重要な概念です。

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