軌道短半径

軌道短半径（Semi-minor axis）とは

軌道短半径は、幾何学における重要な概念で、特に楕円や双曲線といった円錐曲線に関連する性質を持つ線分です。この短半径は、円錐曲線の中心に一方の端が位置し、軌道長半径と直交する特徴があります。

楕円における軌道短半径

楕円の軌道短半径は、焦点の間を結ぶ線分の中点から楕円の端までの距離を指します。この短半径は、短軸と呼ばれるもので、長軸とは直交しており、楕円の中で最も短い部分を形成しています。具体的には、軌道短半径bは次のように定義されています。

• - bの計算式:

\[ b = a \sqrt{1 - e^2} \]
ここで、aは長半径、eは離心率を示します。また、もうひとつは、
\[ a l = b^2 \]
と表されます。

最大距離と最小距離を使った別の計算も可能です。

• - 距離の幾何平均:

\[ b = \sqrt{r_{max} r_{min}} \]
ここで、rは焦点からのそれぞれの距離を指します。

このように、楕円における軌道短半径は、円錐曲線の対称性と幾何学的な特性を反映しています。

放物線における特性

放物線に関しては、焦点を固定しながら、新たに設けた焦点を遠く移動させることで得られます。この場合、長半径aも短半径bも無限大に達します。ただし、aはbよりも早く成長します。また、軌道短半径は次の式によっても表されます。
\[ 2b = \sqrt{(p+q)^2 - f^2} \]
ここで、fは焦点間の距離を指し、pとqはそれぞれの焦点から楕円内部の点までの距離を表します。

双曲線との関連

双曲線の場合、2bは共役軸として楕円の短軸に相当します。また、長軸に対して垂直な位置に短軸は配置され、その高さは双曲線の頂点の上下にある漸近線にも関連します。双曲線における軌道短半径bは、長さaの軌道長半径と次の式で結びつきます。
\[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
また、離心率を含む関係式として、
\[ b = a \sqrt{e^2 - 1} \]
があります。双曲線においてbはaを上回ることが必要です。

まとめ

このように、軌道短半径は楕円や双曲線の構成要素として、形状の特性を理解する上で欠かせない役割を果たしています。これらの概念を通じて、円錐曲線全般に対する理解が一層深まることでしょう。

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