退化 (数学)

数学の分野で「退化（たいか）」という言葉が用いられる際、それは生物学的な意味合いとは異なり、ある対象や構造が、特定の条件や極限操作のもとでその性質や特徴を変化させ、より単純な別の形態になる現象を指します。

この概念は、より一般的で複雑な対象が持つ性質が失われ、特殊で基本的な状態に移行することを捉えるために使われます。言い換えれば、単純な対象を、より複雑な対象の特別な場合や境界として理解するための視点を提供します。

幾何学における退化

様々な図形において「退化」が見られます。

円と点: 例えば、円は平面上の図形ですが、その半径をゼロに近づけていくと、最終的には一点に縮退します。この一点を「退化した円周」と見なすことがあります。
楕円と円: 楕円は二つの焦点からの距離の和が一定である点の軌跡ですが、二つの焦点が一致する場合、その軌跡は円になります。このように、離心率（楕円の潰れ具合を示す値）がゼロである円は「退化した楕円」として捉えられます。
双曲線と直線: 双曲線は漸近線を持つ図形ですが、共通の漸近線を持つ双曲線の族を考えると、特定の条件のもとで、双曲線がその漸近線である一点で交わる二本の直線に変化することがあります。これは「退化した双曲線」の一例です。
放物線と線分: 平面上の放物線は、接平面という文脈で考えると、特定の条件下で直線の一部、すなわち線分として現れることがあります。これも放物線が「退化」した形態と見なすことができます。
長方形と線分: 同様に、長方形の一辺の長さをゼロにした場合、その形状は線分になります。これは「退化した長方形」として理解されます。

集合論や確率論における退化

幾何学的な対象だけでなく、他の数学的対象にも退化の概念は適用されます。

連続体と一点集合: 無数の点を含む滑らかな空間や集合である「連続体」を考える際、これが極端な特殊ケースとして、たった一つの点だけからなる集合になることがあります。これも一種の退化と見なすことができます。
確率分布と退化分布: 確率論において、確率変数は通常複数の値を取りうる可能性を持ち、それぞれの値に対応する確率が分布しています。しかし、特定の状況では、確率変数が偶然性を持たず、確定的にただ一つの値しか取らないことがあります。このような、確率がその特定の値に全て集中している分布を「退化分布」と呼びます。

線形代数における退化

行列の性質に関しても「退化」という言葉が使われます。

行列の階数: 行列が「退化している」とは、その行列の階数（ランク）が、列の数よりも小さい状態を指します。階数は行列の「情報量」や「独立性」を示す指標であり、列数より小さいということは、列ベクトルが線形従属であり、行列が持っている情報の一部が重複したり失われたりしていることを意味します。
* 非退化行列との対比: 退化していない行列は「非退化行列」あるいは「正則行列」と呼ばれ、連立一次方程式の解が一意に定まったり、逆行列が存在したりといった「良い」性質を持ちます。インプットにある「任意の列ベクトルVに対しW=VM，WN=Vを満たす行列Nが存在する」という性質は、非退化な正方行列が逆行列を持つこと、あるいはより一般に右逆行列を持つことを示唆しており、退化行列はこの性質を持たないため、線形変換としての性質も大きく異なります。

退化形式

「退化形式」という言葉は、数学的な「形式」（例えば双線形形式など、ベクトル空間の二つの要素からスカラーを導く関数）が、非退化であるべき性質（非零ベクトルに対して非零の結果を返すなど）を失っている場合に使われます。これは行列の退化とも関連する概念です。

総じて、数学における「退化」は、対象が特殊な条件や極限のもとで性質を変化させ、より基本的な構成要素や単純な形態へと移り変わる現象、あるいはその結果として現れる単純な対象を指します。この概念は、様々な数学分野で、より一般的な構造を理解したり、特殊なケースを分析したりする上で重要な役割を果たします。

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