連続 (数学)

数学における連続性：厳密な定義から様々な概念まで

数学における連続性とは、簡単に言えば、点の集合や関数のグラフに「切れ目がない」状態を指します。しかし、数学ではこの直感的な理解を厳密に定義する必要があります。本記事では、連続性の概念を、初歩的な一変数実関数から、より高度な位相空間上の写像まで、段階的に解説します。

一変数実関数の連続性：ε-δ論法

まず、最も基本的なケースである一変数実関数の連続性から始めましょう。関数f(x)が点x₀で連続であるとは、xがx₀に限りなく近づくにつれて、f(x)がf(x₀)に限りなく近づくことを意味します。これを式で表すと以下のようになります。

lim_(x→x₀) f(x) = f(x₀)

この定義は、ε-δ論法を用いてより厳密に表現できます。任意の正の数εに対して、ある正の数δが存在し、|x - x₀| < δならば|f(x) - f(x₀)| < εが成り立つということです。これは、xがx₀に十分近いならば、f(x)もf(x₀)に十分近いことを意味しています。

関数f(x)が区間Iで連続であるとは、区間I内の全ての点で連続であることを意味します。

多変数関数と一般の位相空間

多変数関数やベクトル値関数の場合も、本質的には同様の考え方が適用されます。絶対値記号をノルムに置き換えることで、連続性の定義を拡張できます。さらに、関数空間のような無限次元空間や、抽象的な位相空間上の写像に対しても、近傍系やフィルターなどの概念を用いて連続性を定義することができます。

一般の位相空間Xから位相空間Yへの写像fについて、fが点xで連続であるとは、Yにおけるf(x)の任意の近傍Vに対して、xのある近傍U_xが存在し、f(U_x) ⊂ Vとなることを言います。これは、f(x)を含む任意の近傍の逆像がxの近傍となることと同値です。また、fがX全体で連続であるとは、Yの任意の開集合の逆像が開集合となることを意味します。

一様連続性

各点連続性よりも強い条件として、一様連続性があります。一変数実関数f(x)が一様連続であるとは、任意の正の数εに対して、ある正の数δが存在し、任意のx, y ∈ Iに対して、|x - y| < δならば|f(x) - f(y)| < εが成り立つことを言います。つまり、xとyの距離がδより小さければ、f(x)とf(y)の距離もεより小さくなるということです。各点連続な関数が必ずしも一様連続とは限りませんが、有界閉区間上の連続関数は一様連続であることが知られています(ハイネ・カントールの定理)。

ヘルダー連続性とリプシッツ連続性

一様連続性の特別な場合として、ヘルダー連続性とリプシッツ連続性があります。ヘルダー連続とは、|f(x) - f(y)|が|x - y|のべき乗に比例するある定数で抑えられる場合を指します。リプシッツ連続は、ヘルダー連続性のさらに特別な場合で、|f(x) - f(y)|が|x - y|に比例するある定数で抑えられる場合を指します。この比例定数はリプシッツ定数と呼ばれます。

不連続関数

連続関数とは対照的に、不連続関数も存在します。例えば、ガウス記号[x]は整数点で不連続です。このタイプの不連続点は、左右の極限が存在するものの値が異なる第一種不連続点と呼ばれます。他にも、sin(1/x)やディリクレ関数は、特定の点、または全ての点で不連続となる例として知られています。

本記事では、連続性の様々な概念を、厳密な定義と具体的な例を用いて解説しました。連続性は数学の様々な分野で基礎となる重要な概念であり、その理解は、微積分、解析学、位相空間論などのより高度な数学を学ぶ上で不可欠です。

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